Ako používať pravouhlú trigonometriu?
Sinusová funkcia je pomer nohy proti zvolenému uhlu k prepone pravouhlého trojuholníka.
Pravouhlá trigonometria je užitočná pri práci s trojuholníkmi a je základnou súčasťou trigonometrie vo všeobecnosti. Pomocou pomerov, ktoré pochádzajú z pravouhlého trojuholníka, a porozumenia aplikácii jednotkového kruhu môžete vyriešiť množstvo problémov spojených s uhlami a dĺžkami. Musíte vyvinúť systém modelovania problému s pravouhlým trojuholníkom. Potom vyberte najlepší trigonometrický vzťah na vyriešenie vášho problému.
Metóda 1 z 3: Použitie funkcií trigonometrie na meranie vzdialeností
- 1Nastavte model pravouhlého trojuholníka. Trigonometrické funkcie je možné použiť na modelovanie situácií v reálnom svete s dĺžkami a uhlami. Prvým krokom je definovanie situácie pomocou modelu s pravouhlým trojuholníkom.
- Predpokladajme napríklad, že máte nasledujúci problém:
- Stúpate na kopec. Viete, že vrchol kopca je 500 metrov nad základňou, a viete, že uhol stúpania je 15 stupňov. Ako ďaleko musíte prejsť, aby ste sa dostali na vrchol?
- Nakreslite pravý trojuholník a označte diely. Zvislá noha je výška kopca. Vrchol tejto nohy predstavuje vrchol kopca. Šikmá strana trojuholníka, prepona, je lezeckým chodníkom.
- Predpokladajme napríklad, že máte nasledujúci problém:
- 2Identifikujte známe časti trojuholníka. Keď máte svoj náčrt a označíte jeho časti, musíte priradiť hodnoty, ktoré poznáte.
- O probléme kopca vám hovoria, že vertikálna výška je 500 metrov. Označte zvislú nohu trojuholníka 500 m.
- Hovorí sa, že uhol stúpania je 15 stupňov. Toto je uhol medzi základňou (spodnou nohou) trojuholníka a preponou.
- Zobrazí sa výzva na zistenie vzdialenosti stúpania, ktorá je dĺžkou prepony trojuholníka. Označte toto neznáme ako x {\ Displaystyle x} .
- 3Vytvorte trigonometrickú rovnicu. Skontrolujte informácie, ktoré poznáte, a to, čo sa pokúšate naučiť, a vyberte funkciu trigonometrie, ktorá ich spojí. Sínusová funkcia napríklad spája uhol, jeho opačnú stranu a preponu. Funkcia kosínus spája uhol, jej priľahlé bočné a prepony. Funkcia dotyčnice spája obe nohy bez prepony.
- Pri probléme so stúpaním do kopca by ste mali uznať, že poznáte základný uhol a zvislú výšku trojuholníka, takže by ste mali vedieť, že budete používať funkciu sínus. Problém nastavte nasledovne:
- sinθ = opačnýhypotenuse {\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ text {opak}} {\ text {hypotenuse}}}}}
- sin15 = 500hypotenuse {\ displaystyle \ sin 15 = {\ frac {500} {\ text {hypotenuse}}}}}
Prečo v trigonometrii používame iba pravouhlé trojuholníky? - 4Vyriešte svoju neznámu hodnotu. Pomocou základnej algebraickej manipulácie preskupte rovnicu tak, aby bola vyriešená neznáma hodnota. Potom pomocou tabuľky trigonometrických hodnôt alebo kalkulačky vyhľadajte hodnotu sínusu uhla, ktorý poznáte.
- Ak chcete zistiť dĺžku stúpania do kopca, vyriešte rovnicu dĺžky prepony.
- sin15 = 500hypotenuse {\ displaystyle \ sin 15 = {\ frac {500} {\ text {hypotenuse}}}}}
- prepona = 500sin15 {\ displaystyle {\ text {hypotenuse}} = {\ frac {500} {\ sin 15}}}
- prepona = 5000,259 {\ displaystyle {\ text {hypotenuse}} = {\ frac {500} {0,259}}}
- prepona = 1930 {\ displaystyle {\ text {hypotenuse}} = 1930}
- Ak chcete zistiť dĺžku stúpania do kopca, vyriešte rovnicu dĺžky prepony.
- 5Interpretujte a nahláste svoj výsledok. Pri akejkoľvek slovnej úlohe získanie numerickej odpovede nie je koniec riešenia. Svoju odpoveď musíte nahlásiť v zmysle, ktorý pre problém dáva zmysel, pomocou správnych jednotiek.
- Pre problém kopca riešenie roku 1930 znamená, že dĺžka stúpania je 1930 metrov.
- 6Vyriešte ďalší problém precvičovaním. Zvážte ešte jeden problém, vytvorte diagram a potom vyriešte neznámu dĺžku.
- Prečítajte si problém. Predpokladajme, že uhlie pod vašim pozemkom je v uhle 12 stupňov a vystupuje na povrch 6 kilometrov. Ako hlboko musíte kopať priamo dole, aby ste dosiahli uhlie pod svojim majetkom?
- Vytvorte diagram. Tento problém v skutočnosti vytvára obrátený pravouhlý trojuholník. Horizontálna základňa predstavuje úroveň zeme. Zvislá noha predstavuje hĺbku pod vašim majetkom a prepona je uhol 12 stupňov, ktorý sa zvažuje nadol k uhoľnému lôžku.
- Označte známe a neznáme hodnoty. Viete, že horizontálna noha je 6 kilometrov (3,7 mi) a meranie uhla je 12 stupňov. Chcete vyriešiť dĺžku zvislej nohy.
- Vytvorte trigonometrickú rovnicu. V tomto prípade je neznámou hodnotou, ktorú chcete vyriešiť, zvislá noha a vy poznáte vodorovnú nohu. Trigonometrická funkcia, ktorá používa obe nohy, je dotyčnica.
- tanθ = protiľahlé susedstvo {\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ text {opačná}} {\ text {susedná}}}}
- tan12 = opak6 {\ displaystyle \ tan 12 = {\ frac {\ text {opačná}} {6}}}
- Vyriešte neznámu hodnotu.
- opak = tan12 ∗ 6 {\ Displaystyle {\ text {opačná}} = \ tan 12*6}
- opak = 0,213 ∗ 6 {\ displaystyle {\ text {opačná}} = 0,213*6}
- opak = 1,278 {\ displaystyle {\ text {opač}} = 1,278}
- Interpretujte svoj výsledok. Dĺžky tohto problému sú v jednotkách kilometrov. Vaša odpoveď je preto 1278 kilometrov (0,794 mi). Odpoveď na otázku je, že aby ste sa dostali k uhoľnému lôžku, musíte kopať 1278 kilometrov (0,794 mi) priamo dole.
Metóda 2 z 3: Použitie inverzných funkcií na výpočet uhlov
- 1Prečítajte si problém s neznámym uhlom. Na výpočet uhlových meraní je možné použiť aj trigonometriu. Postup je podobný, ale problém si vyžiada meranie neznámeho uhla.
- Zvážte nasledujúci problém:
- V určitú dennú dobu vrhá 200 metrov vysoký stožiar vlajky tieň dlhý 80 metrov. Aký je uhol slnka v túto dennú dobu?
- Zvážte nasledujúci problém:
- 2Nakreslite pravý trojuholník a označte diely. Pamätajte si, že trigonometrické problémy sú založené na geometrii pravouhlých trojuholníkov. Nakreslite pravouhlý trojuholník, ktorý bude predstavovať problém, a označte známe a neznáme hodnoty.
- Pre vlajky pól problému vertikálne noha je príznak pól sama. Označte jeho výšku 200 metrov. Vodorovná základňa trojuholníka predstavuje dĺžku tieňa. Základňu označte 80 metrov. Prepona v tomto prípade nereprezentuje žiadne fyzické meranie, ale predstavuje dĺžku od vrcholu stĺpika vlajky po koniec tieňa. To poskytne uhol, ktorý chcete vyriešiť. Označte tento uhol medzi preponou a základňou, uhol θ {\ Displaystyle \ theta} .
Pravouhlá trigonometria je užitočná pri práci s trojuholníkmi a je základnou súčasťou trigonometrie vo všeobecnosti. - 3Vytvorte trigonometrickú rovnicu. Musíte si zopakovať, ktoré časti trojuholníka poznáte a ktoré musíte vyriešiť. To vám pomôže vybrať správnu funkciu trigonometrie, ktorá pomôže nájsť neznámu hodnotu.
- Pri vlajkovom stožiari poznáte zvislú výšku a vodorovnú základňu, ale nepoznáte preponu. Funkcia, ktorá používa pomer dvoch nôh, je dotyčnica.
- Dotykovú rovnicu nastavte nasledovne:
- tanθ = protiľahlé susedstvo {\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ text {opačná}} {\ text {susedná}}}}
- tanθ = 20080 {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {200} {80}}}
- tanθ = 2,5 {\ Displaystyle \ tan \ theta = 2,5}
- 4Na vyriešenie merania uhla použite funkciu inverznej trigonometrie. Keď potrebujete nájsť mieru samotného uhla, budete musieť použiť takzvanú funkciu inverznej goniometrie. Inverzné funkcie sa označujú ako funkcie „oblúka“. Jedná sa o arcsin, arccos a arctan.
- Na kalkulačke sa tieto funkcie javia ako hriech − 1 {\ Displaystyle sin^{-1}} , cos − 1 {\ Displaystyle cos^{-1}} a tan − 1 {\ displaystyle tan^{-1}} . Zadajte hodnotu a potom stlačte príslušné tlačidlo a dostanete mieru uhla. Niektoré kalkulačky sa líšia. Na niektorých zadáte najskôr hodnotu a potom tlačidlo arctan. Na niektorých zadáte arctan a potom hodnotu. Budete musieť určiť, ktorý proces funguje pre vašu kalkulačku.
- tanθ = 2,5 {\ Displaystyle \ tan \ theta = 2,5}
- θ = arctan2,5 {\ displaystyle \ theta = \ arctan 2,5}
- θ = 68,2 {\ displaystyle \ theta = 68,2}
- Na kalkulačke sa tieto funkcie javia ako hriech − 1 {\ Displaystyle sin^{-1}} , cos − 1 {\ Displaystyle cos^{-1}} a tan − 1 {\ displaystyle tan^{-1}} . Zadajte hodnotu a potom stlačte príslušné tlačidlo a dostanete mieru uhla. Niektoré kalkulačky sa líšia. Na niektorých zadáte najskôr hodnotu a potom tlačidlo arctan. Na niektorých zadáte arctan a potom hodnotu. Budete musieť určiť, ktorý proces funguje pre vašu kalkulačku.
- 5Interpretujte svoj výsledok. Pretože ste riešili meranie uhla, jednotka vášho výsledku bude v stupňoch. Skontrolujte, či vaša odpoveď dáva zmysel.
- Na základe tohto riešenia je uhol medzi Zemou a slnkom 68,2 stupňa. Napoludnie je slnko priamo nad hlavou, čo by zvieralo uhol 90 stupňov, takže sa toto riešenie zdá rozumné.
- 6Nastavte ďalší problém s neznámym uhlom. Kedykoľvek je mierka uhla neznámym faktorom, použijete funkciu inverznej trigonometrie. Postup je vždy spravidla rovnaký.
- Prečítajte si problém. Pravouhlý trojuholník s nohami dlhými 8 centimetrov a 10 centimetrov má preponu dlhú 13 centimetrov. Aká je miera uhla oproti nohe 7,60 cm?
- Nakreslite problém. V tomto prípade je problémom jednoducho meranie trojuholníka. Nakreslite pravý trojuholník a označte informácie, ktoré poznáte. Jedna noha má 3, druhá 4 a prepona 5. Neznámy uhol pre tento problém je ostrý uhol oproti 7,60 cm nohe.
- Vytvorte trigonometrickú rovnicu. V tomto prípade, pretože poznáte všetky tri strany trojuholníka, máte v skutočnosti na výber funkcie. Máte údaje, ktoré potrebujete na to, aby ste mohli použiť ktorúkoľvek z funkcií sin, cos alebo tan, a to nasledovne:
- sinθ = opačnýhypotenuse {\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ text {opak}} {\ text {hypotenuse}}}}}
- cosθ = susednáhypotenuse {\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ text {ighbor}} {\ text {hypotenuse}}}}}
- tanθ = protiľahlé susedstvo {\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ text {opačná}} {\ text {susedná}}}}
- 7Vložte známe hodnoty a vyriešte neznámy uhol. V takom prípade pokračujte v riešení pomocou všetkých troch funkcií, aby ste nakoniec zistili, že všetky tri rôzne funkcie dospejú k rovnakému záveru pre hodnotu uhla. Θ {\ Displaystyle \ theta} .
- Najprv nastavte riešenie pomocou funkcie sin {\ Displaystyle \ sin} :
- sinθ = opačnýhypotenuse {\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ text {opak}} {\ text {hypotenuse}}}}}
- sinθ = 35 {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {3} {5}}}
- sinθ = 0,6 {\ Displaystyle \ sin \ theta = 0,6}
- Ďalej nastavte riešenie pomocou funkcie cos {\ Displaystyle \ cos} :
- cosθ = susednáhypotenuse {\ Displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ text {ighbor}} {\ text {hypotenuse}}}}}
- cosθ = 45 {\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {4} {5}}}
- cosθ = 0,8 {\ displaystyle \ cos \ theta = 0,8}
- Nakoniec nastavte riešenie pomocou funkcie tan {\ Displaystyle \ tan} :
- tanθ = protiľahlé susedstvo {\ Displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ text {opačná}} {\ text {susedná}}}}
- tanθ = 34 {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {3} {4}}}
- tanθ = 0,75 {\ Displaystyle \ tan \ theta = 0,75}
Kosínová funkcia je pomer nohy susediacej so zvoleným uhlom delený preponou pravouhlého trojuholníka. - Najprv nastavte riešenie pomocou funkcie sin {\ Displaystyle \ sin} :
- 8Pomocou kalkulačky alebo trigonometrickej tabuľky nájdite hodnoty oblúkovej funkcie na vyriešenie miery uhla.
- Nájdite mieru pomocou arcsin {\ displaystyle \ arcsin} :
- sinθ = 0,6 {\ Displaystyle \ sin \ theta = 0,6}
- θ = arcsin0,6 {\ displaystyle \ theta = \ arcsin 0,6}
- θ = 36,9 {\ displaystyle \ theta = 36,9}
- Nájdite mieru pomocou arccos {\ displaystyle \ arccos} :
- cosθ = 0,8 {\ displaystyle \ cos \ theta = 0,8}
- θ = arccos0,8 {\ displaystyle \ theta = \ arccos 0,8}
- θ = 36,9 {\ displaystyle \ theta = 36,9}
- Nájdite mieru pomocou arctan {\ displaystyle \ arctan} :
- tanθ = 0,75 {\ Displaystyle \ tan \ theta = 0,75}
- θ = arctan0,75 {\ Displaystyle \ theta = \ arctan 0,75}
- θ = 36,9 {\ displaystyle \ theta = 36,9}
- Nájdite mieru pomocou arcsin {\ displaystyle \ arcsin} :
- 9Skontrolujte svoje výsledky. V tomto probléme, pretože ste začínali uhlom a meraniami všetkých troch strán, ste schopní problém vyriešiť tromi rôznymi spôsobmi. Každý z nich sám by stačil na nájdenie odpovede. Vyriešením všetkých troch uvidíte, že riešenie je v oboch smeroch rovnaké. V tomto prípade je zvolený uhol 36,9 stupňa.
Metóda 3 z 3: definovanie základných funkcií
- 1Pochopte jednotkový kruh. Trigonometria je založená na matematickom koncepte jednotkového kruhu. Jedná sa o kruh nakreslený na rovine súradnice xy so stredom na (00) s polomerom 1. Nastavením polomeru rovným 1 je možné merať trigonometrické funkcie priamo.
- Ak si predstavíte jednotkový kruh, akýkoľvek bod v tomto kruhu vytvorí pravý trojuholník. Z vybraného bodu v kruhu nakreslite zvislú čiaru priamo na os x. Potom z tohto bodu na osi x nakreslite vodorovnú čiaru spájajúcu sa so začiatkom. Tieto dve čiary, zvislá a vodorovná, slúžia ako nohy pravouhlého trojuholníka. Polomer kruhu, ktorý spája bod na kruhu so stredom na začiatku, je prepona pravouhlého trojuholníka.
- Trigonometrické funkcie stále platia pre trojuholníky a dĺžky iné ako 1, ale nastavenie polomeru rovného 1 robí výpočet pomerov priamejším.
- 2Naučte sa sínusový vzťah. Sinusová funkcia je pomer nohy proti zvolenému uhlu k prepone pravouhlého trojuholníka. Na jednotkovej kružnici je sínus spôsobom merania vertikálnej vzdialenosti od osi x k určenému bodu. Toto je ďalší spôsob, ako povedať, že je to súradnica y zvoleného bodu.
- Sinus uhla sa bežne označuje skratkou „hriech“. Uhol merania je podľa konvencie často označovaný θ {\ Displaystyle \ theta}, takže hovoríte, že merate sinθ {\ Displaystyle \ sin \ theta} alebo sin (θ) {\ displaystyle sin (\ theta)} .
- Napríklad, ak si vybrať uhol, nazvaný θ {\ displaystyle \ theta} , 30 stupňov v stredu kruhu jednotky, to by znamenalo bod na kružnici o súradniciach (3212) {\ displaystyle ({\ frac { \ sqrt {3}} {2}}, {\ frac {1} {2}})} . Potom môžete povedať, že sinθ = 12 {\ Displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {1} {2}}} .
- 3Pozrite sa na funkciu kosínus. Kosínová funkcia je pomer nohy susediacej so zvoleným uhlom delený preponou pravouhlého trojuholníka. Na jednotkovej kružnici je kosínus dĺžkou vodorovnej nohy, ktorá je tiež súradnicou osi x bodu v kruhu.
- Kosínus uhla sa bežne označuje skratkou „cos“. Hovoríte, že meriate cosθ {\ Displaystyle \ cos \ theta} alebo cosθ (θ) {\ displaystyle \ cos (\ theta)} .
- Napríklad, ak zvolíte uhol t Vstup {\ displaystyle \ theta} 30 stupňov v stredu kruhu jednotky, bolo by to znamenať bod na kružnici o súradniciach (3212) {\ displaystyle ({\ frac {\ sqrt { 3}} {2}}, {\ frac {1} {2}})} . Potom môžete povedať, že cosθ = 32 {\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}} .
Ako nájdem základ pravouhlého trojuholníka? - 4Pochopte tangenciálnu funkciu. Treťou bežnou goniometrickou funkciou je tangens. Dotyčnica je pomer dvoch ramien pravouhlého trojuholníka k sebe navzájom bez ohľadu na ich preponu. Konkrétne pre zvolený uhol pravouhlého trojuholníka je dotyčnica nájdená vydelením dĺžky nohy opačnej k zvolenému uhlu cez nohu susediacu so zvoleným uhlom. Na jednotkovej kružnici je dotyčnica rovná súradnici y delenej súradnicou x.
- Funkcia tangens je často skrátená ako „opálenie“. Pre zvolený uhol t Vstup {\ displaystyle \ theta} , hovoríte, že sú merania tanθ {\ displaystyle \ tan \ theta} alebo tan (θ) {\ displaystyle \ tan (\ theta)} .
- Pre príklad uhla t Vstup {\ displaystyle \ theta} 30 stupňov v stredu kruhu jednotky, pripomeňme, že súradnice sú (3212), {\ displaystyle ({\ frac {\ sqrt {3}} {2}}, {\ frac {1} {2}})} . Tangens nájdete tak, že sínus (súradnica y) vydelíte kosínusom (súradnica x) takto:
- tanθ = 1232 = 33 = 0,577 {\ displaystyle \ tan \ theta = {\ frac {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}} = {\ frac { \ sqrt {3}} {3}} = 0,577} .
- Všimnite si toho, že vykazovanie výsledku v zlomkoch s druhou odmocninou, ako napríklad 33 {\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {3}} {3}}}, sa vo všeobecnosti považuje za presnejšie a presnejšie ako zaokrúhľovanie na desatinné miesta ako 0,577. Na praktické účely môže byť prijateľné tri desatinné miesto.
- 5Skontrolujte ostatné pomery. Občas môžete potrebovať alternatívne pomery ako kosínus, sínus a tangenta. Tieto alternatívne funkcie sú inverznými prvými tromi. V základných výpočtoch sa používajú menej často. V pokročilejšej trigonometrickej práci sa však stávajú zásadnými. Tieto funkcie sú:
- Secant. Toto je skrátené ako „s“ a rovná sa 1cos {\ displaystyle {\ frac {1} {cos}}} .
- Cosecant. Kosekans je skrátený ako „csc“ a rovná sa 1sin {\ displaystyle {\ frac {1} {sin}}} .
- Kotangens. Kotangens je skrátený ako „detská postieľka“ a rovná sa 1tan {\ displaystyle {\ frac {1} {tan}}} .
- 6Naučte sa mnemotechnické pomôcky SOHCAHTOA. Keď sa pokúšajú spomenúť si na pomery primárnych funkcií hriech, kos a opálenie, mnoho študentov používa pamäťový nástroj „SOHCAHTOA“. Keď je rozbitý na svoje časti, poskytuje nasledujúce pomery:
- SOH znamená iniciály hriechu, opak, prepona a pripomína pomer:
- hriech = opak
- CAH znamená iniciály cos, priľahlé, prepony, nasledovne:
- cos =ighborhypotenuse {\ displaystyle \ cos = {\ frac {\ text {sused}} {\ text {hypotenuse}}}}}
- TOA znamená iniciály tanu, opačné, susedné a predstavuje pomer:
- tan = opačné hlavy
- SOH znamená iniciály hriechu, opak, prepona a pripomína pomer:
- Hodnoty sin a cos sú vždy medzi -1 a 1, ale dotyčnicou môže byť ľubovoľné číslo. Ak sa vám zobrazí chyba vo funkcii inverzného spúšťača, vaša hodnota je pravdepodobne príliš veľká alebo príliš malá. Skontrolujte svoj pomer a skúste to znova. Bežnou chybou je preklopenie strán v pomere, ako napríklad použitie prepony/opak pre hriech.
- sin -1 nie je to isté ako csc, cos -1 nie je to isté ako sek a tan -1 nie je to isté ako detská postieľka. Prvá je inverzná funkcia trig, čo znamená, že ak zadáte hodnotu pomeru, poskytne vám zodpovedajúci uhol, druhá je recipročná funkcia, čo znamená, že pomer je obrátený.
Prečítajte si tiež: Ako určiť kocku a guľu rovnakého objemu?
Otázky a odpovede
- Ako nájdem základ pravouhlého trojuholníka?Základňa pravouhlého trojuholníka je len otázkou vnímania alebo zarovnania. Základňou je zvyčajne horizontálna noha. Ak si však predstavíte otáčanie alebo nakláňanie trojuholníka, potom sa druhá noha môže stať základom. Je to dôležité pre smer, ktorým sa pozeráte, alebo uhol, ktorý potrebujete zmerať. Všimnite si, že pomery pre hriech, cos a opálenie nepoužívajú slovník „základne“ a „výšky“. Namiesto toho označujú polohu nôh vo vzťahu k uhlom ako priľahlú, opačnú alebo preponu.
- Prečo v trigonometrii používame iba pravouhlé trojuholníky?Pravouhlé trojuholníky modelujú horizontálne a vertikálne zložky uhla v strede jednotkovej kružnice. (Pozri diskusiu v článku.) V pokročilejšej trigonometrii môžete použiť niektoré pravidlá na nesprávne pravouhlé trojuholníky.
- Keď sa ma opýtajú, aký je kosínus uhla a uhol je daný dĺžkou nohy trojuholníka, čo použijem?Pozri článok. Kosínus uhla sa zistí vydelením dĺžky strany protiľahlej k uhlu delenou preponou.
