Ako porozumieť jednotkovému kruhu?

Zistite, čo je jednotkový kruh. Jednotková kružnica je kruh so stredom na začiatku s polomerom 1. Z kónických tvarov si zapamätajte, že rovnica je x ² +y ² = 1. Tento kruh je možné použiť na nájdenie určitých „špeciálnych“ trigonometrických pomerov a na pomoc pri vytváraní grafov. Okolo kruhu je tiež omotaný riadok so skutočným číslom, ktorý slúži ako vstupná hodnota pri hodnotení funkcií trig.

Poznáte 6 trigramových pomerov. Viem, že

• sinθ = opak/prepona
• cosθ = susedný/prepona
• tanθ = opačný/susedný
• cosecθ = 1/sinθ
• sekθ = 1/cosθ
• cotθ = 1/tanθ.

Pochopte, čo je to radián. Radián je ďalší spôsob, ako zmerať uhol. Jeden radián je požadovaný uhol, takže dĺžka uzavretého oblúka sa rovná dĺžke polomeru. Všimnite si, že nezáleží na veľkosti alebo orientácii kruhu. Musíte tiež poznať počet radiánov v celom kruhu (360 stupňov). Nezabudnite, že obvod kruhu je daný 2πr, takže v obvode sú miery polomeru 2π. Pretože radián je podľa definície uhol, v ktorom sa dĺžka polomeru rovná dĺžke oblúka, v celom kruhu je 2π radiánov.

Vedieť prevádzať medzi radiánmi a stupňami. V celom kruhu sú 2π radiány alebo 360 stupňov. Takže:

• 2πradián = 360 stupňov
• radián = (360/2π) stupeň
• radián = (180/π) stupeň
• a
• 360 stupňov = 2π radián
• stupeň = (2π/360) radián
• stupeň = (π/180) radián

Poznáte „špeciálne“ uhly. Špeciálne uhly v radiánoch sú π/6, π/3, π/4, π/2, π a násobky všetkých (napr. 5π/6)

Spoznajte a zapamätajte si identity spúšťačov, ktoré poskytujú 6 spúšťacích funkcií pre akýkoľvek uhol. Na ich odvodenie sa musíte pozrieť na jednotkový kruh. Pripomeňme, že okolo jednotkového kruhu je omotaný riadok skutočného čísla. Bod na číselnej osi sa týka počtu radiánov v vytvorenom uhle. Napríklad bod na π/2 na riadku skutočných čísel zodpovedá bodu na kružnici, ktorej polomer zviera s kladným horizontálnym polomerom uhol π/2. Trikom na nájdenie trigových hodnôt akéhokoľvek uhla je preto nájsť súradnice bodu. Prepona je vždy 1, pretože to je polomer kruhu, a pretože akékoľvek číslo delené 1 je samo osebe a opačná strana sa rovná z hodnoty y, vyplýva, že sínusová hodnota je súradnicou y bodu. Kozinová hodnota sa riadi podobnou logikou. Cos sa rovná priľahlej strane delenej preponou a opäť, pretože prepona je vždy 1 a susedná strana sa rovná súradnici x, vyplýva, že kosínusová hodnota je súradnica x bodu. Tangenta je o niečo ťažšia. Tangens uhla v pravom trojuholníku sa rovná delenej opačnej strane priľahlou stranou. Problém je v tom, že v menovateli nie je žiadna konštanta ako v predchádzajúcich príkladoch, takže musíte byť o niečo kreatívnejší. Nezabudnite, že opačná strana sa rovná súradnici y a susedná strana sa rovná súradnici x, takže nahradením by ste zistili, že dotyčnica sa rovná y/x. Pomocou tohto môžete nájsť inverzné spúšťacie funkcie tak, že použijete recipročnú hodnotu týchto vzorcov. Aby sme to zhrnuli, tu sú identity.

• sinθ = r
• cosθ = x
• tanθ = y/x
• csc = 1/r
• sek = 1/x
• detská postieľka = x/r

Nájdite a zapamätajte si 6 spúšťacích funkcií pre uhly na osiach. Pre uhly, ktoré sú násobkami π/2, ako napríklad 0, π/2, π, 3π/2, 2π atď. Nájdenie trigonometrických funkcií je rovnako jednoduché ako zobrazenie uhla na osiach. Ak je koncová strana pozdĺž osi x, hriech bude 0 a cos bude buď 1 alebo -1 v závislosti od smeru, ktorým lúč smeruje. Podobne, ak je koncová strana pozdĺž osi y, sin bude buď 1 alebo -1 a cos bude 0.

Nájdite a zapamätajte si 6 spúšťacích funkcií špeciálneho uhla π/6. Začnite nakreslením uhla π/6 na jednotkovej kružnici. Viete, ako nájsť dĺžky strán pre špeciálne pravé trojuholníky (30-60-90 a 45-45-90) na jednej strane a ako π/6 = 30 stupňov je tento trojuholník jedným z týchto špeciálnych prípadov. Ak si teda pamätáte, krátka noha je 0,5 prepona, takže súradnica y je 0,5 a dlhá noha je √3-násobok kratšej nohy alebo (√3)/2, takže súradnica x je (√3)/2. Súradnice tohto bodu sú ((√3)/20,5) Teraz pomocou identít v predchádzajúcom kroku zistíte, že:

• sinπ/6 = 0,5
• cosπ/6 = (√3)/2
• tanπ/6 = 1/(√3)
• cscπ/6 = 2
• sekπ/6 = 2/(√3)
• cotπ/6 = √3

Nájdite a zapamätajte si 6 trigonometrických funkcií špeciálneho uhla π/3) uhol π/3 má na obvode bod, v ktorom sa súradnica x rovná súradnici y v uhle π/6 a súradnice y je rovnaká ako súradnica x. Ide teda o (0,5, √1,5). Preto z toho vyplýva, že:

• sinπ/3 = (√3)/2
• cosπ/3 = 0,5
• tanπ/3 = √3
• cscπ/3 = 2/(√3)
• sekπ/3 = 2
• detská postieľka/3 = 1/(√3)

Nájdite a zapamätajte si 6 spúšťacích funkcií špeciálneho uhla π/4. Pomery pre trojuholník 45-45-90 sú preponou √2 a nohami 1, takže v jednotkovom kruhu sú rozmery nasledujúce: a spúšťacie funkcie sú:

• sinπ/4 = 1/(√2)
• cosπ/4 = 1/(√2)
• tanπ/4 = 1
• cscπ/4 = √2
• sekπ/4 = √2
• detská postieľka/4 = 1

Zistite, ktorý referenčný uhol použiť. V tomto mieste ste už našli spúšťacie hodnoty troch špeciálnych referenčných uhlov, všetky sú však v kvadrante I. Ak potrebujete nájsť funkciu väčšieho alebo menšieho špeciálneho uhla, najskôr zistite, ktorý referenčný uhol je v rovnaká „rodina“ uhlov. Rodina π/3 napríklad pozostáva z 2π/3, 4π/3 a 5π/3. Dobré všeobecné pravidlo pre zistenie referenčné uhol je znížiť podiel čo najviac potom sa pozrite na dolnom rade.

• Ak je to 3, je v rodine π/3
• Ak je to 6, je v rodine π/6
• Ak je to 2, je to v rodine π/2
• Ak stojí osamotene, napríklad π alebo 0, je v rodine π
• Ak je to 4, je to v rodine π/4