Ako používať sínusové pravidlo?
Sínusové pravidlo vyžaduje, aby ste mali aspoň jeden pár s uhlom, ktorý je proti známej strane.
Sine pravidlo, tiež známy ako právo Sines, je mimoriadne užitočná, pokiaľ ide o vyšetrovanie na vlastnosti trojuholníka. Napriek tomu, že tri trigonometrické pomery, sínusový, kosínusový a tangensový, vám môžu s pravouhlými trojuholníkmi veľmi pomôcť, sínusové pravidlo bude fungovať aj v prípade scalenových trojuholníkov. Bez ohľadu na tvar trojuholníka, ak poznáte nejaké obmedzené informácie o jeho uhloch a stranách, zvyšok môžete vypočítať pomocou sínusového pravidla.
Časť 1 z 3: označenie trojuholníka
- 1Označte boky. Strany trojuholníka sú tradične označené tromi po sebe idúcimi písmenami, zvyčajne A, B a C. Poradie, ktoré sa rozhodnete použiť na označenie strán, vo všeobecnosti nezáleží, pokiaľ to neurčuje niečo v probléme, na ktorom pracujete.
- 2Označte uhly. Tri uhly trojuholníka označte písmenami, ktoré zodpovedajú dĺžkam strán. Ak napríklad pre strany používate veľké písmená A, B a C, potom označte uhly malými písmenami a, b a c. Môžete tiež použiť malé grécke písmená α, β a γ {\ Displaystyle \ alpha, \ beta, {\ text {a}} \ gamma} . Umiestnite ich tak, aby zodpovedali označeným stranám, takže uhol α {\ Displaystyle \ alp}} je na opačnej strane A, uhol β {\ Displaystyle \ beta} je na opačnej strane B a uhol γ {\ Displaystyle \ gamma} je na opačnej strane C.
- Jedným zo spôsobov, ako určiť, že strana je „oproti“ zvolenému uhlu, je zaistiť, aby nevytvárala jeden z lúčov uhla. Ak je správne označené, uhol α {\ displaystyle \ alpha} WLL byť vytvorené na oboch stranách B a C. Preto bude "naproti" strana A.
- Podobne uhol β {\ displaystyle \ beta} je tvorená stranách A a C, a je opačná strana B.
- Uhol γ {\ Displaystyle \ gamma} je tvorený stranami A a B a je protiľahlou stranou C.
- Niektoré matematické texty budú používať veľké písmená pre boky a malé písmená pre uhly. Iní robia opak. Nezáleží na tom, pokiaľ ste dôslední.
- 3Označte všetky merania, ktoré poznáte. Pri vašom probléme vám musia byť poskytnuté určité merania strán a uhlov. Mali by ste ich označiť na náčrte trojuholníka.
- Je možné, že budete môcť vypočítať jedno alebo viac meraní pomocou niektorých pravidiel geometrie.
- Ak vám napríklad oznámia, že trojuholník je rovnoramenný, potom môžete označiť, že dva uhly sú rovnaké, ako aj dve zodpovedajúce strany.
- Ako ďalší príklad, ak vám povedia, že dva uhly sú 40 a 75 stupňov, potom môžete vypočítať tretí uhol ako 65 stupňov, pretože všetky tri uhly sa musia sčítať až 180 stupňov.
- Je možné, že budete môcť vypočítať jedno alebo viac meraní pomocou niektorých pravidiel geometrie.
Potom môže sínusové pravidlo určiť ďalšie dva uhly.
Časť 2 z 3: výpočet pomocou sínusového pravidla
- 1Pochopte pravidlo sínusu. Sínusové pravidlo, nazývané tiež zákon sínusov, je pravidlom goniometrie, ktoré spája strany trojuholníka a jeho uhlové merania. Aj keď je väčšina trigonometrie založená na vzťahoch pravouhlých trojuholníkov, sínusový zákon sa môže vzťahovať na akýkoľvek trojuholník, bez ohľadu na to, či má pravý uhol alebo nie. '
- Zákon sínus je vyjadrený nasledovne:
- Asinα = Bsinβ = Csinγ {\ displaystyle {\ frac {A} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {B} {\ sin \ beta}} = {\ frac {C} {\ hriech \ gamma}}}
- Rovnaké pravidlo je možné zmeniť tak, aby poskytovalo nasledujúce ekvivalentné vyhlásenia:
- sinαA = sinβB = sinγC {\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {A}} = {\ frac {\ sin \ beta} {B}} = {\ frac {\ sin \ gamma } {C}}}
- Zákon sínus je vyjadrený nasledovne:
- 2Skontrolujte potrebné údaje. Aby bol sínusový zákon užitočný, musíte poznať miery najmenej dvoch uhlov a jednej strany alebo dvoch strán a jedného uhla. V každom prípade musíte mať aspoň jeden pár, ktorý pozostáva zo strany a z opačného uhla.
- Na uplatnenie zákona sínus by napríklad postačovali nasledujúce kombinácie:
- Strana A, strana B a uhol α {\ Displaystyle \ alpha}
- Strana A, strana C a uhol γ {\ Displaystyle \ gamma}
- Strana B, uhol β {\ Displaystyle \ beta} a uhol α {\ Displaystyle \ alpha}
- Nasledujúce kombinácie sú príklady, ktoré NIE sú dostatočné na aplikáciu zákona o sínusoch:
- Strana A, strana B a strana C. (Toto nefunguje, pretože nemáte žiadne meranie uhla.)
- Strana A, strana B a uhol γ {\ Displaystyle \ gamma} . (To nefunguje, pretože známy uhol nie je opačný ani jednej zo známych strán.
- Strana B, uhol α {\ Displaystyle \ alpha} a uhol γ {\ Displaystyle \ gamma} . (To nefunguje, pretože známa strana nie je protikladom ani jedného zo známych uhlov.)
- Na uplatnenie zákona sínus by napríklad postačovali nasledujúce kombinácie:
- 3Napíšte časť zákona o sínusoch, ktorú potrebujete. Zákon sínusov vám pomôže nájsť jednu informáciu o trojuholníku - meranie strany alebo uhla - ak poznáte ďalšie tri. Kým plný sínusová veta je napísaná ako trojdielne rovnica je, stačí, aby sa rovnali dva pre pravidlá na prácu.
- Ak napríklad poznáte strany A a B a uhol α {\ Displaystyle \ alpha} , potom potrebujete časť zákona o sínusoch, ktorá hovorí:
- Asinα = Bsinβ {\ displaystyle {\ frac {A} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {B} {\ sin \ beta}}}
- Všimnite si podobnosť zákona. Je skutočne jedno, ktorý štítok použijete pre akékoľvek strany alebo uhly. Dôležitá vec na zapamätanie je, že ste porovnaním pomerov. Pomer ktorejkoľvek strany k jej opačnému uhlu je rovnaký ako pomer akejkoľvek inej strany k jej opačnému uhlu.
- Ak napríklad poznáte strany A a B a uhol α {\ Displaystyle \ alpha} , potom potrebujete časť zákona o sínusoch, ktorá hovorí:
- 4Vyplňte čísla, ktoré poznáte. Predpokladajme, že dostanete, že strana A je 12, uhol α {\ Displaystyle \ alp}} je 80 stupňov a uhol β {\ Displaystyle \ beta} je 40 stupňov. Nájdite dĺžku strany B. Tieto čísla môžete označiť na trojuholníku a problém nastaviť nasledovne:
- Asinα = Bsinβ {\ displaystyle {\ frac {A} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {B} {\ sin \ beta}}}
- 12sin80 = Bsin40 {\ displaystyle {\ frac {12} {\ sin 80}} = {\ frac {B} {\ sin 40}}}
- 5Zmeňte usporiadanie, aby ste vyriešili neznáme informácie. Použite základnú algebru na manévrovanie neznámych informácií tak, aby stáli osamote na oboch stranách rovnice. Potom môžete problém obmedziť a nájsť odpoveď.
- 12sin80 = Bsin40 {\ displaystyle {\ frac {12} {\ sin 80}} = {\ frac {B} {\ sin 40}}}
- 12sin40sin80 = B {\ Displaystyle {\ frac {12 \ sin 40} {\ sin 80}} = B}
- 7,83 = B {\ Displaystyle 7,83 = B}
- Ak chcete vo vyššie uvedenom probléme nájsť hodnotu sínusu uhla, ako je napríklad sin40 {\ Displaystyle \ sin 40} , môžete použiť väčšinu ručných kalkulačiek s goniometrickými funkciami. Rôzne kalkulačky fungujú odlišne. Pri niektorých kalkulačkách zadáte najskôr meranie uhla a potom tlačidlo „hriech“. Pri ostatných zadáte najskôr tlačidlo „hriech“ a potom meranie uhla. Budete musieť experimentovať s kalkulačkou.
- Alternatívne sú k dispozícii niektoré tabuľky buď v matematických knihách, alebo online. S goniometrickou tabuľkou nájdete požadovaný uhol v jednom stĺpci a zodpovedajúcu hodnotu sínusu, kosínusu alebo tangenty v inom stĺpci.
Teraz, keď poznáte všetky tri uhly, môžete pomocou sínusového pravidla nájsť dve zostávajúce strany.
Časť 3 z 3: Cvičenie s inými problémami
- 1Vyriešte neznámy uhol. Predpokladajme, že ako iný problém poznáte dve strany a potrebujete vyriešiť neznámy uhol. Zadáte, že strana A je 25 centimetrov dlhá, strana B je 18 centimetrov a uhol α {\ Displaystyle \ alpha} je 50 stupňov. Tieto informácie môžete použiť na nájdenie merania uhla β {\ Displaystyle \ beta} . Problém nastavte nasledovne:
- Asinα = Bsinβ {\ displaystyle {\ frac {A} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {B} {\ sin \ beta}}}
- 10sin50 = 7sinβ {\ displaystyle {\ frac {10} {\ sin 50}} = {\ frac {7} {\ sin \ beta}}}
- sinβ = 7sin5010 {\ displaystyle \ sin \ beta = {\ frac {7 \ sin 50} {10}}}
- sinβ = 7 ∗ 0,76610 {\ displaystyle \ sin \ beta = {\ frac {7*0,766} {10}}}
- sinβ = 0,536 {\ Displaystyle \ sin \ beta = 0,536}
- 2V prípade potreby na nájdenie uhla použite inverznú funkciu. Vo vyššie uvedenom príklade poskytuje sínusový zákon ako riešenie sínus zvoleného uhla. Ak chcete nájsť mieru samotného uhla, musíte použiť funkciu inverzného sínusu. Hovorí sa mu aj arcsine. Na kalkulačke je to spravidla označené ako hriech − 1 {\ Displaystyle \ sin ^{-1}} . Toto použite na nájdenie miery uhla.
- V prípade vyššie uvedeného príkladu je posledný krok nasledujúci:
- sinβ = 0,536 {\ Displaystyle \ sin \ beta = 0,536}
- β = arcsin0,536 {\ displaystyle \ beta = \ arcsin 0,536}
- β = 32,4 {\ displaystyle \ beta = 32,4} .
- V prípade vyššie uvedeného príkladu je posledný krok nasledujúci:
- 3Vyriešte problém s neúplnými informáciami. Predpokladajme, že vám bolo povedané, že uhol α = 30 stupňov {\ Displaystyle \ alpha = 30 {\ text {stup}}} , uhol β = 50 stupňov {\ Displaystyle \ beta = 50 {\ text {stup}}}} a strana C, ktorá ich spája, je dlhá 25 centimetrov. Nájdite meranie všetkých strán a uhlov pre trojuholník.
- Najprv by ste mali uznať, že ešte nemáte dostatok informácií, aby sa pravidlo sínus mohlo uplatniť. Sine pravidlo vyžaduje, že máte aspoň jeden pár s uhlom, ktorý nesúhlasí s známou stranu. Tretí uhol tohto trojuholníka však môžete vypočítať jednoduchým odčítaním. Všetky tri uhly pridať až o 180 stupňov, takže si môžete nájsť uhol y {\ displaystyle \ gamma} odpočítaním:
- γ = 180 − α − β = 180−30−50 = 100 {\ Displaystyle \ gamma = 180- \ alpha-\ beta = 180-30-50 = 100}
- Teraz, keď poznáte všetky tri uhly, môžete pomocou sínusového pravidla nájsť dve zostávajúce strany. Vyriešte ich jeden po druhom:
- Csinγ = Bsinβ {\ displaystyle {\ frac {C} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {B} {\ sin \ beta}}}
- 10sin100 = Bsin50 {\ displaystyle {\ frac {10} {\ sin 100}} = {\ frac {B} {\ sin 50}}}
- 10sin50sin100 = B {\ Displaystyle {\ frac {10 \ sin 50} {\ sin 100}} = B}
- 10 ∗ 0,7660,985 = B {\ Displaystyle {\ frac {10*0,766} {0,985}} = B}
- 7,78 = B {\ Displaystyle 7,78 = B}
- Strana B je teda dlhá 20 centimetrov. Teraz vyriešte poslednú zostávajúcu stranu.
- Csinγ = Asinα {\ displaystyle {\ frac {C} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {A} {\ sin \ alpha}}}
- 10sin100 = Asin30 {\ displaystyle {\ frac {10} {\ sin 100}} = {\ frac {A} {\ sin 30}}}
- 10sin30sin100 = A {\ Displaystyle {\ frac {10 \ sin 30} {\ sin 100}} = A}
- 10 ∗ 0,50,985 = A {\ Displaystyle {\ frac {10*0,5} {0,985}} = A}
- 5,08 = A {\ displaystyle 5,08 = A}
- Strana A je teda 13 centimetrov dlhá. Teraz máte všetky tri uhly, 30, 50 a 100 stupňov, a všetky tri strany, 5,08, 7,78 a 25 centimetrov.
- Najprv by ste mali uznať, že ešte nemáte dostatok informácií, aby sa pravidlo sínus mohlo uplatniť. Sine pravidlo vyžaduje, že máte aspoň jeden pár s uhlom, ktorý nesúhlasí s známou stranu. Tretí uhol tohto trojuholníka však môžete vypočítať jednoduchým odčítaním. Všetky tri uhly pridať až o 180 stupňov, takže si môžete nájsť uhol y {\ displaystyle \ gamma} odpočítaním:
Najprv by ste mali uznať, že zatiaľ nemáte dostatok informácií na to, aby sa pravidlo sínus mohlo uplatniť.
- Všimnite si, že ak máte dve strany a uhol alebo dva uhly a stranu, že musíte použiť zákon sínusov, potom môžete použiť sínusový zákon opakovane na nájdenie všetkých zostávajúcich mier uhla a strán trojuholníka. Keď poznáte dva uhly, tretí môžete nájsť odčítaním od 180 stupňov. Potom s tretím uhlom môžete zopakovať zákon sínusov a nájsť dĺžku tretej strany.
- Okrem zákona o sínusoch by ste sa mali naučiť aj kosínusový zákon. Kosinínový zákon je iné usporiadanie strán a uhlov, ktoré vám môže pomôcť naučiť sa informácie o trojuholníku.
Prečítajte si tiež: Ako prežiť hodinu biológie?
Otázky a odpovede
- Ak sú dve strany dané uhlom medzi nimi, aké pravidlo by sa malo použiť?Začnite kosínovým pravidlom, aby ste našli tretiu stranu. Potom môže sínusové pravidlo určiť ďalšie dva uhly.
- Ako ste vypočítali 7,8?Sinus 40° (0,642) vynásobený 12 a delený sinusom 80° (0,984) sa rovná 7,8.
- Ako použijem tabuľku na nájdenie hodnoty hriechu (-219)?Tabuľky sínusov zvyčajne dosahujú iba 0 až 90 stupňov, takže skôr, ako ich použijete, budete musieť priradiť hriech (-219) k uhlu v tomto rozsahu. Najprv môžete do ľubovoľného uhla pridať celý kruh (360 stupňov) bez toho, aby ste zmenili akékoľvek z jeho trigových hodnôt, takže sin (-219) = sin (141). Stále nie sme v rozsahu tabuliek, takže použite inú vlastnosť sínusu: sin (x) = sin (180-x), takže sin (141) = sin (39). Vyhľadajte hriech 39 v tabuľke a oznámte to ako odpoveď na hriech (-219).
