Ako znásobiť binomické čísla?
Akékoľvek otázky, ktoré vás budú zaujímať „Nájdite výrazy dvoch binomických čísel (x+3) (x+2)“, „nájdite súčin dvoch binomických čísel“ alebo „rozbaľte tieto dva binomické výrazy“, vás vyzývajú, aby ste binomické čísla vynásobili.
Binomiály sú malé matematické výrazy pozostávajúce z variabilného výrazu (x, a, 3x, 4t, 1090y) sčítaného alebo odčítaného konštantným výrazom (1, 3, 110 atď.). Binomiály budú vždy obsahovať iba 2 výrazy, ale sú stavebnými kameňmi oveľa väčších a zložitejších rovníc známych ako polynómy, vďaka ktorým sú neuveriteľne dôležité dobre sa učiť. Táto lekcia sa bude zaoberať niekoľkými druhmi binomického násobenia, ale všetky sa dajú naučiť aj oddelene.
Metóda 1 z 3: vynásobenie dvoch binomických čísel
- 1Pochopte matematickú slovnú zásobu a typy otázok. Otázky pri nasledujúcom teste bude nemožné vyriešiť, ak neviete, na čo sa pýtajú. Našťastie terminológia nie je extrémne ťažká:
- Podmienky: Výraz je jednoducho súčasťou rovnice, ktorá sa sčíta alebo odčíta. Môže to byť konštanta, premenná alebo oboje. Napríklad v 12 + 13x + 4x 2 sú výrazy 12, 13x a 4x 2.
- Binomické: Toto je len komplikovaný spôsob, ako povedať „výraz s dvoma výrazmi“ ako x+3 alebo x 4 - 3x.
- Právomoci: toto sa týka exponenta výrazu. Mohli by sme napríklad povedať, že x 2 je „x druhej mocnosti “.
- Akékoľvek otázky, ktoré vás budú zaujímať „Nájdite výrazy dvoch binomických čísel (x+3) (x+2)“, „nájdite súčin dvoch binomických čísel“ alebo „rozbaľte tieto dva binomické výrazy“, vás vyzývajú, aby ste binomické čísla vynásobili.
- 2Naučte sa skratku FOIL, aby ste si zapamätali poradie binomického násobenia. FOIL je jednoduchý návod na vynásobenie dvoch dvojčlenov. FOIL znamená poradie, ktoré potrebujete na vynásobenie častí binomík dohromady: F je pre prvé, O je pre vonkajšie, I je pre vnútorné a L je pre posledné. Názvy odkazujú na poradie, v ktorom sú termíny napísané. Povedzme, že vynásobíme binomické čísla (x+2) a (x+5). Podmienky by boli:
- Najprv: x & x
- Vonkajšie: x & 5
- Vnútorné: 2 & x
- Posledné: 2 a 5
- 3PRVÚ časť vynásobte v každej zátvorke. Toto je „F“ FÓLIE. V našom prípade (x+2) (x+5) sú prvé výrazy „x“ a „x“. Vynásobte ich spolu a poznamenajte si odpoveď: „x 2 “.
- Prvý výraz: x * x = x 2
- 4Vynásobte VONKAJŠIE časti v každej zátvorke. Toto sú dva krajné „konce“ nášho problému. V našom prípade (x+2) (x+5) by teda boli „x“ a „5“. Spolu robia „5x“
- Vonkajší termín: x * 5 = 5x
Potrebujeme znásobiť binomické čísla jeden po druhom, takže všetky dve vynásobte buď FOIL alebo distribúciou výrazov. - 5Vynásobte VNÚTORNÉ časti v každej zátvorke. Dve čísla najbližšie k stredu budú vašim vnútorným pojmom. Pre (x+2) (x+5) to znamená, že vynásobením „2“ a „x“ získate „2x“.
- Vnútorný člen: 2 * x = 2x
- 6Vynásobte POSLEDNÉ diely v zátvorkách. To však nebude znamenať posledné dve čísla, ale posledné číslo v každom zátvorkách. Takže pre (x+2) (x+5) vynásobíme „2“ a „5“, aby sme dostali „10“.
- Posledný termín: 2 * 5 = 10
- 7Sčítajte všetky nové výrazy. Skombinujte výrazy ich spojením a vytvorte nový, väčší výraz. Z nášho predchádzajúceho príkladu dostaneme rovnicu:
- x 2 + 5x + 2x + 10
- 8Zjednodušte podobné výrazy. Podobné výrazy sú časťami rovnice, ktoré majú rovnakú premennú a moc. V našom prípade výrazy 2x a 5x zdieľajú x a je možné ich sčítať. Žiadne iné výrazy nie sú rovnaké, takže zostanú na mieste.
- Konečná odpoveď: (x + 2) (x + 5) = x 2 + 7x + 10
- Rozšírená poznámka: Ak sa chcete dozvedieť, ako fungujú výrazy, zapamätajte si základy násobenia. 3 * 5 napríklad znamená, že sa pridanie troch pätiek dohromady získať 15 (5 + 5 + 5). V našej rovnici máme 5 * x (x + x + x + x + x + x) a 2 * x (x + x). Ak spočítame všetky „x“ v rovnici, vyjde nám sedem „x“ s, čiže 7x.
- 9Nezabudnite, že odčítané čísla sú záporné. Keď sa číslo odpočíta, je to rovnaké ako pridanie záporného čísla. Ak pri svojich výpočtoch zabudnete dodržať znamienko mínus, skončíte s nesprávnou odpoveďou. Zoberme si príklad (x+3) (x-2):
- Najprv: x * x = x 2
- Vonkajšie: x * -2 = -2x
- Vnútorné: 3 * x = 3x
- Naposledy: 3 * -2 = -6
- Sčítajte všetky výrazy: x 2 - 2x + 3x - 6
- Zjednodušte na konečnú odpoveď: x 2 + x - 6
Metóda 2 z 3: vynásobenie viac ako dvoch binomických čísel
- 1Vynásobte prvé dva dvojčleny, tretí dočasne ignorujte. Vezmite si príklad (x+4) (x+1) (x+3). Potrebujeme znásobiť binomické čísla jeden po druhom, takže všetky dve vynásobte buď FOIL alebo distribúciou výrazov. Vynásobenie prvých dvoch (x+4) a (x+1) pomocou FOIL bude vyzerať takto:
- Najprv: x*x = x 2
- Vonkajší: 1*x = x
- Vnútorné: 4*x = 4x
- Naposledy: 1*4 = 4
- Skombinujte výrazy: x 2 + x + 4x + 4
- (x +4) (x +1) = x 2 +5x +4
- 2Skombinujte zostávajúci binomický výraz s novou rovnicou. Teraz, keď je časť rovnice znásobená, môžete zvládnuť zostávajúci binomický výraz. V príklade (x+4) (x+1) (x+3) bol zvyšný výraz (x+3). Vráťte ho späť s novou rovnicou a získate takto: (x + 3) (x 2 + 5x + 4).
Vynásobte ľubovoľné dva binomické čísla buď pomocou distribúcie výrazov alebo FOIL, potom pomocou distribúcie výrazov vynásobte konečný binomický súbor k prvým dvom. - 3Vynásobte prvé číslo v binomickom čísle všetkými tromi číslami v druhej zátvorke. Toto je distribúcia výrazov. Takže pre rovnicu (x + 3) (x 2 + 5x + 4) musíte vynásobiť prvé x tromi časťami druhej zátvorky, „x 2 “, „5x“ a „4.“
- (x * x 2) + (x * 5x) + (x * 4) = x 3 + 5x 2 + 4x
- Túto odpoveď si zapíšte a odložte si ju na neskôr.
- 4Vynásobte druhé číslo v binomickom čísle všetkými tromi číslami v druhej zátvorke. Vezmite rovnicu (x + 3) (x 2 + 5x + 4). Teraz vynásobte druhú časť binomického čísla všetkými tromi časťami v ostatných zátvorkách „x 2 “, „5x“ a „4“.
- (3 * x 2) + (3 * 5x) + (3 * 4) = 3x 2 + 15x + 12
- Napíšte túto odpoveď vedľa prvej odpovede.
- 5Sčítajte dve odpovede z násobenia. Odpovede z predchádzajúcich dvoch krokov musíte skombinovať, pretože tvoria dve časti vašej konečnej odpovede.
- x 3 + 5x 2 + 4x + 3x 2 + 15x + 12
- 6Zjednodušte rovnicu, aby ste získali konečnú odpoveď. Všetky výrazy „páči sa mi“, výrazy, ktoré zdieľajú rovnakú premennú a moc (napríklad 5x 2 a 3x 2), je možné zlúčiť, aby bola vaša odpoveď jednoduchšia.
- 5x 2 a 3x 2 sa stávajú 8x 2
- 4x a 15x sa stane 19x
- (x + 4) (x + 1) (x + 3) = x 3 + 8x 2 + 19x + 12
- 7Na riešenie väčších problémov s násobením vždy používajte distribúciu. Pretože distribúciu výrazov môžete použiť na vynásobenie rovníc ľubovoľnej dĺžky, máte teraz nástroje potrebné na riešenie väčších problémov, ako napríklad (x+1) (x+2) (x+3). Vynásobte ľubovoľné dva binomické čísla buď pomocou distribúcie výrazov alebo FOIL, potom pomocou distribúcie výrazov vynásobte konečný binomický súbor k prvým dvom. V nasledujúcom príklade FOIL (x+1) (x+2), potom distribuujeme výrazy pomocou (x+3), aby sme získali konečnú odpoveď:
- (x+1) (x+2) (x+3) = (x+1) (x+2) * (x+3)
- (x + 1) (x + 2) = x 2 + 3x + 2
- (x+1) (x+2) (x+3) = (x 2 +3:+2) * (x+3)
- (x 2 + 3x + 2) * (x + 3) = x 3 + 3x 2 + 2x + 3x 2 + 9x + 6
- Zjednodušte na konečnú odpoveď: x 3 + 6x 2 + 11x + 6
Metóda 3 z 3: Zarovnanie dvojčlenov na druhú
- 1Naučte sa nastaviť „všeobecné vzorce “. Všeobecné vzorce vám umožňujú namiesto výpočtu FOIL zakaždým jednoducho pripojiť svoje čísla. Binomiály, ktoré sa zvýšia na druhú mocninu, ako (x+2) 2, alebo na tretiu mocninu, ako (4y+12) 3, sa dajú ľahko vložiť do už existujúceho vzorca, takže riešenie je rýchle a jednoduché. Aby sme našli všeobecný vzorec, nahradíme všetky čísla premennými. Potom na konci môžeme čísla znova zapojiť, aby sme získali odpoveď. Začnite rovnicou (a + b) 2, kde:
- a znamená premenný termín (tj. 4y - 1, 2x 2 + 3 atď.) Ak neexistuje číslo, potom a = 1, pretože 1 * x = x.
- b je konštanta, ktorá sa pridáva alebo odčítava (tj. x + 10, t - 12).
- 2Vedzte, že štvorcové binomické čísla je možné prepísať. (a + b) 2 môže vyzerať komplikovanejšie ako náš predchádzajúci príklad, ale pamätajte na to, že druhou mocninou čísla je iba jeho vynásobenie. Rovnicu teda môžeme prepísať tak, aby vyzerala známejšie:
- (a + b) 2 = (a + b) (a + b)
Ako vynásobím binomickú trojici? - 3Na vyriešenie novej rovnice použite FOIL. Ak na túto rovnicu použijeme fóliu, dostaneme všeobecný vzorec, ktorý vyzerá ako riešenie akéhokoľvek binomického násobenia. Pamätajte si, že pri násobení nezáleží na poradí, ktoré znásobíte.
- Prepíšte ako (a+b) (a+b).
- Najprv: a * a = a 2
- Vnútorné: b * a = ba
- Vonkajšie: a * b = ab
- Naposledy: b * b = b 2.
- Pridajte nové výrazy: a 2 + ba + ab + b 2
- Skombinujte podobné výrazy: a 2 + 2ab + b 2
- Pokročilá poznámka: Exponenty a radikály sa považujú za operácie hyper-3, zatiaľ čo násobenie a delenie sú hyper-2. To znamená, že vlastnosti násobenia a delenia nefungujú pre exponenty. (a + b) 2 sa nerovná 2 + b 2. Toto je veľmi častá chyba medzi ľuďmi.
- 4Na vyriešenie svojich problémov použite všeobecnú rovnicu a 2 + 2ab + b 2. Zoberme si rovnicu (x+2) 2. Namiesto toho, aby sme FOIL robili odznova, môžeme zapojiť prvý výraz pre „a“ a druhý výraz pre „b“,
- Všeobecná rovnica: a 2 + 2ab + b 2
- a = x, b = 2
- x 2 + (2 * x * 2) + 22
- Konečná odpoveď: x 2 + 4x + 4.
- Svoju prácu môžete kedykoľvek skontrolovať vykonaním FOIL v pôvodnej rovnici (x+2) (x+2). Dostanete rovnakú odpoveď každý čas, ak sa robí správne.
- Ak je výraz odpočítaný, musíte ho vo všeobecnej rovnici ponechať záporný.
- 5Nezabudnite vložiť celý výraz do všeobecnej rovnice. Vzhľadom na binomickú (2x+3) 2 si musíte zapamätať, že a = 2x, nielen a = 2. Keď máte zložité výrazy, musíte si uvedomiť, že 2 aj x sú hranaté.
- Všeobecná rovnica: a 2 + 2ab + b 2
- Náhrada za a a b: (2x) 2 + 2 (2x) (3) + 32
- Štvorec každý výraz: (22) (x 2) + 14x + 32
- Zjednodušte na konečnú odpoveď: 4x 2 + 14x + 9
- Keď sa binomické čísla zväčšujú, možno sa budete musieť naučiť zložitejšiu vetu nazývanú binomická expanzia.
Prečítajte si tiež: Ako nájsť korene jednoty?
Otázky a odpovede
- Ako vynásobím binomickú trojici?(a + b) (c + d - e) = ac + ad - ae + bc + bd - byť.
- Ako môžem zaobchádzať s binomiálmi s negatívnou silou? Príklad (x + 5)^-2(x + 5)^(-2) = 1 / (x + 5) ² = 1 / (x² + 10x + 25).
