Ako rozdeliť komplexné čísla?

Keď delíte komplexné čísla alebo čísla zapísané v tvare z = a plus b krát i, napíšte 2 komplexné čísla ako zlomok.

Komplexné číslo je číslo, ktoré možno zapísať v tvare $Z = a+bi,$ , kde $A$ je reálna zložka $B$ je fiktívna zložka, a $Ja$ je číslo, ktoré uspokojuje $I^{{2}} =-1.$

Ako rozdeliť komplexné čísla pomocou polárnych súradníc — Pokračujte v čítaní, aby ste sa dozvedeli, ako rozdeliť komplexné čísla pomocou polárnych súradníc!

Komplexné čísla uspokojujú mnohé z vlastností, ktoré skutočné čísla majú, napríklad komutativitu a asociativitu. Keď je však výraz napísaný ako pomer dvoch komplexných čísel, nie je okamžite zrejmé, že toto číslo je komplexné. Ale vzhľadom na to, že pole komplexných čísel musí obsahovať multiplikatívnu inverziu, výraz skončí jednoducho ako súčin dvoch komplexných čísel, a preto musí byť komplexný. Ukážeme, ako písať tieto pomery vo štandardnej forme $A+bi$ ako v karteziánskych a polárnych súradniciach.

Časť 1 z 2: karteziánske súradnice

1
Začnite s pomerom. V tejto časti si ukážeme, ako rozdeliť dve komplexné čísla a ukážeme si, prečo to funguje.
- ${\ frac {2+3i} {3+6i}}$
2

Nájdite komplexný konjugát menovateľa. Komplexný konjugát z ${\ bar {z}},$ vyslovovaný ako „z-bar“, je jednoducho komplexné číslo so znamienkom imaginárnej časti obráteným. Napríklad konjugát čísla $3+6i$ $Displaystyle$ $3+6i}$ je $3-6i.$
3
Vynásobte čitateľa a menovateľa týmto komplexným konjugátom. Dôvodom, prečo to funguje tak, že pre každý komplexného čísla z, {\ displaystyle z,} $Z,$ vynásobením jeho konjugátu poskytuje reálne číslo ZZ = (a + bi) (A-BI) = a2 + b2, {\ displaystyle Z {\ bar {z}} = (a+bi) (a-bi) = a^{2}+b^{2},} $Z {\ bar {z}} = (a+bi) (a-bi) = a^{{2}}+b^{{2}},$ pretože oba sú skutočné {\ Displaystyle a} $A$ a b {\ Displaystyle b} $B$ I sa potom odstránia zo menovateľa. Pamätajte si, že skutočne násobíme 1, takže horná aj dolná časť musia byť vynásobené rovnakým číslom. Proces a zdôvodnenie je podobné procesu racionalizácie menovateľa.
- ${\ frac {2+3i} {3+6i}} \ cdot {\ frac {3-6i} {3-6i}} = {\ frac {6+9i-12i+18} {9+36}} = {\ frac {24-3i} {45}}$
- Pamätať, že $I^{{2}} =-1.$ To znamená, že budete musieť venovať veľkú pozornosť na znamenie.
4
Výsledok zjednodušte a rozdeľte na reálne a imaginárne komponenty. Teraz máme v menovateli zlomok so skutočným číslom, takže zostáva len vložiť ho do tvaru a+bi. {\ Displaystyle a+bi.} $A+bi.$
- ${\ frac {24-3i} {45}} = {\ frac {8-i} {15}} = {\ frac {8} {15}}-{\ frac {1} {15}} i$

Že toto číslo je komplexné — Keď je však výraz napísaný ako pomer dvoch komplexných čísel, nie je okamžite zrejmé, že toto číslo je komplexné.

Časť 2 z 2: polárne súradnice

1

Prezrite si obdĺžnikové grafy komplexných čísel. Možno ste sa už naučili vykresľovať komplexné čísla v komplexnej rovine. Horizontálna os označuje reálne osi, zatiaľ čo zvislá os je imaginárny osi. Hore je graf ľubovoľného komplexného čísla v komplexnej rovine. Je dôležité pochopiť, čo tieto grafy znamenajú, pretože povaha komplexných čísel znamená, že môžeme kresliť tesné spojenia medzi ich algebraickými vlastnosťami (ako je uvedené v časti 1) a ich geometrickými vlastnosťami.
2
Pochopte polárne súradnice. V polárnych súradniciach, označíme body s dvoma premennými r {\ displaystyle r} $R.$ a θ, {\ displaystyle \ theta,} $\ theta,$ kde r {\ displaystyle r} $R.$ je vzdialenosť od pólu a t Vstup {\ displaystyle \ theta} $\ theta$ je uhol od polárnej osi. V rámci komplexných čísel, je veľkosť čísla sa nazýva na modul, zatiaľ čo jeho uhol od polárnej osi je nazývaný jeho tvrdenia.
- Pripomeňme si prevody súradníc z karteziánskeho na polárne.
  - $X = r \ cos \ theta$
  - $Y = r \ sin \ theta$
- V komplexnej rovine teda môžeme napísať akékoľvek komplexné číslo ako $Z = r (\ cos \ theta +i \ sin \ theta).$ Pomocou Eulerovho vzorca môže to $skomprimovať$ na $Z = re^{{i \ theta}}.$
- V tejto časti ukážeme, že riešenie komplexných čísel v polárnej forme je oveľa jednoduchšie ako ich riešenie v karteziánskej forme.
3
Začnite s pomerom. Ukážme iný príklad.
- ${\ frac {3+3i} {2+2 {\ sqrt {3}} i}}$
4
Premeňte svoje komplexné čísla na polárnu formu. Ak sú vaše čísla už v polárnej forme, tento krok preskočte. V opačnom prípade použite nižšie uvedené vzťahy.
- $R = {\ sqrt {a^{{2}}+b^{{2}}}}$
- $\ theta = \ tan ^{{-1}} \ vľavo ({\ frac {b} {a}} \ vpravo)$
- V našom prípade máme dve komplexné čísla na konverziu na polárne. Označme ich ako z1z2 {\ displaystyle {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}}} ${\ frac {z _ {{1}}} {z _ {{2}}}}$ a použijeme zápis z = reiθ. {\ Displaystyle z = re^{i \ theta}.} $Z = re^{{i \ theta}}.$
  - $Z _ {{1}} = 3+3i = 3 {\ sqrt {2}} e^{{i \ pi /4}}$
  - $Z _ {{2}} = 2+2 {\ sqrt {3}} i = 4e^{{i \ pi /3}}$
5
Rozdeľte dve komplexné čísla. Keď napíšeme čísla v polárnej forme, zistíme, že nám stačí rozdeliť veličiny a odčítať uhly. Rovnako tak, keď vynásobíme dve komplexné čísla v polárnej forme, vynásobíme veľkosti a sčítame uhly.
- ${\ begin {aligned} {\ frac {z _ {{1}}} {z _ {{2}}}} = {\ frac {3 {\ sqrt {2}} e^{{i \ pi /4}} } {4e^{{i \ pi /3}}}} a = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} e^{{i \ left ({\ frac {\ pi} { 4}}-{\ frac {\ pi} {3}} \ right)}} \\ a = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} e^{{-i \ pi / 12}} \ end {zarovnaný}}$
6
Previesť späť na karteziánske súradnice. Použite nasledujúce vzťahy. Náš uhol je θ = −π12, {\ Displaystyle \ theta =-{\ frac {\ pi} {12}},}, $\ theta =-{\ frac {\ pi} {12}},$ ktorý sa v jednotkovom kruhu zvyčajne nezobrazuje. Môžete buď použiť kalkulačku alebo nájsť presné hodnoty z cos⁡ (-π12) {\ displaystyle \ cos \ left (- {\ frac {\ pi} {12}} \ right)} $\ cos \ vľavo (-{\ frac {\ pi} {12}} \ vpravo)$ a sin⁡ (-π12) { \ Displaystyle \ sin \ left (-{\ frac {\ pi} {12}} \ right)} $\ sin \ vľavo (-{\ frac {\ pi} {12}} \ vpravo)$ pomocou identít trigonometrického súčtu. Ďalej uvádzame identity na zápis komponentov v presnej forme. Takéto identity sú dostupné online alebo v učebniciach.
- $A = r \ cos {\ theta}$
- $B = r \ sin {\ theta}$
- ${\ begin {aligned} aand = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ cos \ left (-{\ frac {\ pi} {12}} \ right) \\ and = { \ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {4}}-{\ frac {\ pi} {3}} \ right) \\ a = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ left (\ cos {\ frac {\ pi} {4}} \ cos {\ frac {\ pi} {3}}+\ sin {\ frac {\ pi} {4}} \ sin {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \\ a = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ left ({\ frac {{\ sqrt {2}}} {2}} \ cdot {\ frac {1} {2}}+{\ frac {{\ sqrt {2}}} {2}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt {3}}} {2}} \ right) \\ a = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt {2} }+{\ sqrt {6}}} {4}} \\ a = {\ frac {3+3 {\ sqrt {3}}} {8}} \ end {zarovnaný}}$
- ${\ begin {aligned} band = {\ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ sin \ left (-{\ frac {\ pi} {12}} \ right) \\ and = { \ frac {3 {\ sqrt {2}}} {4}} \ cdot {\ frac {{\ sqrt {2}}-{\ sqrt {6}}} {4}} \\ a = {\ frac { 3-3 {\ sqrt {3}}} {8}} \ end {zarovnaný}}$
7
Napíšte komplexné číslo v štandardnej forme. Napriek tomu, že vyššie uvedené prevody prešli niekoľkými krokmi, je dôležité si uvedomiť, že „ťažká“ časť spočíva v prevode z jedného súradnicového systému na druhý. Keď sa zaoberáme komplexnými číslami čisto polárnymi, operácie násobenia, delenia a dokonca umocňovania (pozri De Moivresov vzorec) je veľmi jednoduché.
- ${\ frac {3+3 {\ sqrt {3}}} {8}}+{\ frac {3-3 {\ sqrt {3}}} {8}} i$

Že pole komplexných čísel musí obsahovať multiplikatívnu inverziu — Ale vzhľadom na to, že pole komplexných čísel musí obsahovať multiplikatívnu inverziu, výraz skončí jednoducho ako súčin dvoch komplexných čísel, a preto musí byť komplexný.

Tipy

Je ľahké ukázať, prečo je vynásobenie dvoch komplexných čísel v polárnej forme ekvivalentom násobenia veličín a sčítania uhlov. Napíšte dve komplexné čísla v polárnej forme a vynásobte ich. Potom môžeme použiť identity súčtu trigónov na spojenie skutočných a imaginárnych častí.
- ${\ begin {aligned} z _ {{1}} z _ {{2}} and = r _ {{1}} (\ cos \ theta _ {{1}}+i \ sin \ theta _ {{1}}) r _ {{2}} (\ cos \ theta _ {{2}}+i \ sin \ theta _ {{2}}) \\ a = r _ {{1}} r _ {{2}} (\ cos \ theta _ {{1}} \ cos \ theta _ {{2}}+i \ sin \ theta _ {{1}} \ cos \ theta _ {{2}}+i \ sin \ theta _ {{2} } \ cos \ theta _ {{1}}-\ sin \ theta _ {{1}} \ sin \ theta _ {{2}}) \\ a = r _ {{1}} r _ {{2}} ((\ cos \ theta _ {{1}} \ cos \ theta _ {{2}}-\ sin \ theta _ {{1}} \ sin \ theta _ {{2}})+i (\ sin \ theta _ {{1}} \ cos \ theta _ {{2}}+\ sin \ theta _ {{2}} \ cos \ theta _ {{1}}))) \\ a = r _ {{1}} r_ {{2}} (\ cos (\ theta _ {{1}}+\ theta _ {{2}})+i \ sin (\ theta _ {{1}}+\ theta _ {{2}})) \ end {zarovnaný}}$

Prečítajte si tiež: Ako integrovať spúšťacie funkcie?

Ako rozdeliť komplexné čísla?

Kroky

Časť 1 z 2: karteziánske súradnice

Časť 2 z 2: polárne súradnice

Tipy

Prečítajte si tiež: