Ako nájsť korene jednoty?
Ako vidíme vyššie, nuly funkcie tvoria pravidelný päťuholník a komplexné korene tvoria konjugované páry, rovnako ako pre tretie korene jednoty.
Komplexné čísla môžu byť napísané v polárnom tvare z = reiθ, {\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}} 
Vzorec na nájdenie m -tých koreňov jednoty je uvedený nižšie.
Môžeme to tiež rozšíriť na hľadanie koreňov komplexného čísla . Z. {\ Displaystyle z.} Nech ζ = z1/m {\ displaystyle \ zeta = z^{1/m}} je m -tý koreň z. {\ Displaystyle z.} Potom môžeme vidieť, že ζm = z {\ Displaystyle \ zeta^{m} = z} a ζ = r1/meiθ/m. {\ displaystyle \ zeta = r^{1/m} e^{i \ theta /m}.}
Pretože nachádzame korene jednoty, a inými slovami, všetky korene ležia na jednotkovom kruhu.
V tomto článku budeme pracovať so špeciálnym prípadom, kde raisedm = 1. {\ Displaystyle \ zeta ^{m} = 1.} Inými slovami, nachádzame čísla, ktoré sa rovnajú 1, keď sa zvýšia na m -tý výkon. Hovorí sa im korene jednoty.
- Vzorec na nájdenie m -tých koreňov jednoty je uvedený nižšie.
- 11/m = ei2πk/m = cos2πkm+isin2πkm, k = 01, ⋯, m − 1 {\ Displaystyle 1^{1/m} = e^{i2 \ pi k/m} = \ cos { \ frac {2 \ pi k} {m}}+i \ sin {\ frac {2 \ pi k} {m}}, \ k = 01, \ cdots, m-1}
Časť 1 z 2: tretie korene jednoty
- 1Nájdite tretie korene jednoty. Nájdenie koreňov jednoty znamená, že nájdeme všetky čísla v komplexnej rovine tak, že keď sa zvýši na tretiu mocninu, vyjde 1. Keď vezmeme do úvahy rovnicu x3−1 = 0, {\ Displaystyle x^{3} -1 = 0,} vieme, že jeden z nuly je 1. Ale zo základnej vety algebry vieme, že každý polynom stupňa n {\ n} displaystyle má n {\ n} displaystyle komplexné korene. Pretože ide o kubickú rovnicu, existujú tri korene a dva z nich sú v komplexnej rovine. Pri hľadaní týchto dvoch zostávajúcich koreňov sa už nemôžeme obmedzovať na riešenie iba so skutočnými číslami.
- z3 = 1 {\ Displaystyle z^{3} = 1}
- z3 = 1 {\ Displaystyle z^{3} = 1}
- 2Týkajú Z {\ displaystyle z} pre korene.
- Vieme, že komplexné číslo je možné zapísať ako z = reiθ. {\ Displaystyle z = re^{i \ theta}.} Z polárnych súradníc však pamätajte, že čísla zapísané v polárnom tvare nie sú jednoznačne definované. Sčítaním ľubovoľného násobku 2π bude tiež rovnaké číslo. Nižšie, symboly k∈Z {\ displaystyle k \ v \ mathbb {Z}} znamená, že k {\ displaystyle k} je ľubovoľné celé číslo.
- z = rei (θ +2πk), k∈Z {\ Displaystyle z = re^{i (\ theta +2 \ pi k)}, \ \ k \ in \ mathbb {Z}}
- Zdvihnite z {\ Displaystyle z} na tretinu sily. Pretože sa chceme vyhnúť tomu, aby bola naša funkcia viachodnotová, musíme obmedziť doménu argumentu na θ: [02π. {\ Displaystyle \ theta: [02 \ pi.} Preto, k = 01,2. {\ Displaystyle k = 01,2.} Vo všeobecnosti sa m- té korene nachádzajú nahradením k = 01, ⋯, m − 1. {\ Displaystyle k = 01, \ cdots, m-1.}
- z0,33 = r0,33ei (θ +2πk3) {\ displaystyle z^{0,33} = r^{0,33} e^{i \ left ({\ frac {\ theta +2 \ pi k} { 3}} \ right)}}
- Vieme, že komplexné číslo je možné zapísať ako z = reiθ. {\ Displaystyle z = re^{i \ theta}.} Z polárnych súradníc však pamätajte, že čísla zapísané v polárnom tvare nie sú jednoznačne definované. Sčítaním ľubovoľného násobku 2π bude tiež rovnaké číslo. Nižšie, symboly k∈Z {\ displaystyle k \ v \ mathbb {Z}} znamená, že k {\ displaystyle k} je ľubovoľné celé číslo.
- 3Nahradiť príslušné hodnoty pre R {\ displaystyle r} a t Vstup {\ displaystyle \ theta} . Vzhľadom k tomu, zisťujeme korene jednoty, r = 1 {\ displaystyle r = 1} a t Vstup = 0. {\ Displaystyle \ theta = 0.} Inými slovami, všetky korene ležia na kruhu jednotky.
- 10,33 = ei2πk/3 = cos2πk3+isin2πk3, k = 01,2 {\ displaystyle 1^{0,33} = e^{i2 \ pi k/3} = \ cos {\ frac {2 \ pi k} {3}}+i \ sin {\ frac {2 \ pi k} {3}}, \ k = 01,2}
- 4Ohodnotiť. Keď sú korene vynesené na komplexnej rovine, ktoré tvoria rovnostranný trojuholník, kde je jedným z vrcholov je na bode z = 1. {\ Displaystyle z = 1.} Navyše komplexné korene prichádzajú v konjugovaných párov.
- 10,33 = 1, −12+32i, −12−32i {\ Displaystyle 1^{0,33} = 1,-{\ frac {1} {2}}+{\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i,-{\ frac {1} {2}}-{\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i}
- 5Vizualizujte si korene jednoty. Graf vyššie je komplexný diagram funkcie z3−1. {\ Displaystyle z^{3} -1.} Jas začína od čiernej farby a s rastom magnitúdy sa stáva jasnejším. Odtieň začína od červenej a prechádza cez farebné koliesko, čo zodpovedá uhlu od 0 do 2π. {\ Displaystyle 2 \ pi.} (Presnejšie pre každé π/3, {\ displaystyle \ pi /3,} farba opäť prejde z červenej, žltej, zelenej, azúrovej, modrej, purpurovej na červenú.)
- Ako východiskový bod pri interpretácii vidíme, že na skutočnej osi funkcia mapuje pôvod na -1. To je na grafe znázornené azúrovou farbou , pretože eiπ = −1, {\ Displaystyle e^{i \ pi} =-1,} a zvyšujúci sa jas vľavo znamená, že funkcia je stále menšia a menšia. Medzitým je skutočná os červená a x je jasnejšia. Nuly jasne vidíme ako tri čierne bodky, ktoré tvoria rovnostranný trojuholník.
Nájdenie koreňov jednoty znamená, že nájdeme všetky čísla v komplexnej rovine tak, že keď sa zvýši na tretiu mocnosť, poskytne 1.
Časť 2 z 2: piate korene jednoty
- 1Nájdite piate korene jednoty. Rovnako ako u tretej korene, vieme, že rovnica x5-1 = 0 {\ displaystyle x ^ {5} -1 = 0} má jeden koreň, 1, v reálnych čísel. Podľa základnej vety o algebre existujú ďalšie štyri korene a tieto korene musia byť zložité.
- 2Týkajú Z {\ displaystyle z} pre korene.
- z0,2 = r0,2ei (θ +2πk5) {\ displaystyle z^{0,2} = r^{0,2} e^{i \ left ({\ frac {\ theta +2 \ pi k} { 5}} \ right)}}
- 3Nahradiť príslušné hodnoty pre R {\ displaystyle r} a t Vstup {\ displaystyle \ theta} a vyhodnotiť. Je dobré nechať odpovede v polárnej forme. Ako je vidieť vyššie, nuly funkcia z5-1 {\ displaystyle Z ^ {5} -1} tvorí pravidelný päťuholník a komplexné korene konjugovanej forme pary, rovnako ako u tretej koreňov jednoty.
- 10,2 = ei2πk/5, k = 01,23,4 = 1, ei2π/5, ei4π/5, ei6π/5, ei8π/5 {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} 1^{0,2} & = e^{i2 \ pi k /5}, \ k = 01,23,4 \\ & = 1, e^{i2 \ pi /5}, e^{i4 \ pi /5}, e^{i6 \ pi /5}, e^{i8 \ pi /5} \ end {zarovnaný}}}
Prečítajte si tiež: Ako previesť sekundu na minútu?
