Ako zistiť kapacitu?
Kapacitná kapacita predmetu je schopnosť udržať elektrický náboj.
Kapacitná kapacita predmetu je schopnosť udržať elektrický náboj. Kapacitná kapacita súvisí s nábojom a elektrickým potenciálom vzťahom C = QV. {\ Displaystyle C = {\ frac {Q} {V}}.} Za predpokladu existencie elektrického náboja Q, {\ displaystyle Q,} nájdenie kapacity objektu bude preto pred vyhodnotením vyžadovať výpočet elektrického poľa a s ním spojeného potenciálu.
Tieto kondenzátory v tomto článku všetky majú nejakú formu symetria, ktorá umožňuje na elektrickom poli ľahko vyhodnotiť. (Takmer všetky problémy s použitím Gaussovho zákona vyžadujú určitú formu symetrie, aby sa integrály mohli hodnotiť analyticky.)
- Gaussova zákona: elektrický tok preniká povrch ohraničujúce objem sa rovná poplatku uzavretej v rámci zväzku.
- ∮SE⋅dS = Qϵ0 {\ Displaystyle \ mast _ {S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = {\ frac {Q} {\ epsilon _ {0}}} }
- Elektrický potenciál súvisí s elektrickým poľom nižšie uvedenou priamkou. V elektrostatike je elektrické pole definované ako konzervatívne, takže pole vykazuje nezávislosť na ceste. Preto bude hodnotenie závisieť iba od hodnôt na hraniciach, a nie od konkrétnej zvolenej cesty. Krivka C {\ displaystyle C} je prevzatý z bodu 0 potenciálu na inom mieste.
- V = −∫CE⋅dl {\ Displaystyle V =-\ int _ {C} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l}}
Nájdite kapacitu.
Časť 1 z 3: kondenzátor s paralelnými doskami
- 1Nájdite elektrické pole. Princíp superpozície nám umožňuje nájsť elektrické pole iba jednej z dosiek. V tomto prípade používame gaussovskú škatuľku. Táto krabička na tablety má tvár rovnobežnú s doskou s plochou A. {\ Displaystyle A.} Definujme plošnú hustotu náboja σ = QA, {\ displaystyle \ sigma = {\ frac {Q} {A}},} s jednotkami poplatok za jednotku plochy. Pretože je elektrické pole kolmé na povrch, budú k nemu prispievať iba konce škatule.
- ∮SE⋅dS = Qϵ0E2A = Qϵ0E = Q2Aϵ0E = σ2ϵ0 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mast _ {S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} & = {\ frac {Q} {\ epsilon _ {0}}} \\ E2A & = {\ frac {Q} {\ epsilon _ {0}}} \\ E & = {\ frac {Q} {2A \ epsilon _ {0} }} \\ E & = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon _ {0}}} \ end {aligned}}}
- Pretože máme do činenia s dvoma rovnobežnými doskami, ktoré majú hustotu náboja +σ {\ Displaystyle +\ sigma } a −σ, {\ Displaystyle -\ sigma,} uznávame, že keď vezmeme do úvahy iba záporne nabitú platňu, elektrické pole smeruje k to. Na princípe superpozície sa elektrické pole medzi doskami zdvojnásobí. Pretože nás zaujíma iba veľkosť elektrického poľa, jeho smer je ignorovaný.
- E = σϵ0 {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma} {\ epsilon _ {0}}}}
- 2Nájdite elektrický potenciál. Predpokladáme, že dosky sú vzdialenosť d {\ displaystyle d} od seba. Potom si pripomíname, že elektrické pole je konzervatívne, takže ukazuje nezávislosť na ceste, čo opäť umožňuje ľahké vyhodnotenie integrálu. Potenciál je vždy hodnotený od vysokého po nízky potenciál - inými slovami, v smere elektrického poľa. Okrem toho, keď nájdeme potenciál, zaujíma nás iba nájsť jeho veľkosť.
- V = −∫CE⋅dl = Ed = σϵ0d = QdAϵ0 {\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} V & =-\ int _ {C} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} \\ & = Ed \\ & = {\ frac {\ sigma} {\ epsilon _ {0}}} d \\ & = {\ frac {Qd} {A \ epsilon _ {0}}} \ end {zarovnaný}} }
- 3Nájdite kapacitu. Použitím vzťahu C = QV {\ displaystyle C = {\ frac {Q} {V}}}, ako bolo naznačené vyššie, vyhodnotíme kapacitu kondenzátora s rovnobežnou doskou nižšie, kde sa zistilo, že je nezávislá na C {\ Displaystyle C} ako Q {\ displaystyle Q} a V. {\ displaystyle V.}
- C = Aϵ0d {\ displaystyle C = {\ frac {A \ epsilon _ {0}} {d}}}
Prečítajte si tiež: Ako overiť princíp neistoty pre kvantový harmonický oscilátor?
Časť 2 z 3: valcový kondenzátor
- 1Nájdite elektrické pole. Používame valcovú Gaussovej plochy s polomerom r, {\ displaystyle r} medzi dvoma valcovými vodičmi pre určenie elektrického poľa, v ktorej má vnútorné valec polomer R1, {\ displaystyle R_ {1},} vonkajšie valec má polomer r2, {\ Displaystyle r_ {2},} oba valce majú dĺžku L, {\ displaystyle L,} a r1 <r <r2≪L. {\ displaystyle r_ {1} <r <r_ {2} \ ll L.} Rovnako ako predtým, elektrické pole je kolmé na dosky, takže vrcholy gaussovského povrchu neprispievajú. Iba strana s plochou A = 2πrL {\ displaystyle A = 2 \ pi rL} robí.
- ∮SE⋅dS = Qϵ0E2πrL = Qϵ0E = Q2πrLϵ0 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mast _ {S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} & = {\ frac { Q} {\ epsilon _ {0}}} \\ E2 \ pi rL & = {\ frac {Q} {\ epsilon _ {0}}} \\ E & = {\ frac {Q} {2 \ pi rL \ epsilon _ {0}}} \ end {aligned}}}
- Elektrické pole smeruje radiálne od stredu valcov.
- 2Nájdite potenciál. Hodnotíme od r1 {\ displaystyle r_ {1}} do r2. {\ Displaystyle r_ {2}.}
- V = ∫r1r2Q2πrLϵ0dr = Q2πLϵ0∫r1r21rdr = Q2πLϵ0lnr2r1 {\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} V & = \ int _ {r_ {1}}^{r_ {2}} {\ frac {Q} {2 \ pi rL \ epsilon _ {0}}} \ mathrm {d} r \\ & = {\ frac {Q} {2 \ pi L \ epsilon _ {0}}} \ int _ {r_ {1}}^{r_ { 2}} {\ frac {1} {r}} \ mathrm {d} r \\ & = {\ frac {Q} {2 \ pi L \ epsilon _ {0}}} \ ln {\ frac {r_ { 2}} {r_ {1}}} \ end {zarovnaný}}}
- 3Nájdite kapacitu. Nabíjanie sa zruší a kapacita je opäť nezávislá na náboji.
- C = 2πLϵ0lnr2r1 {\ displaystyle C = {\ frac {2 \ pi L \ epsilon _ {0}} {\ ln {\ frac {r_ {2}} {r_ {1}}}}}}
Nabíjanie sa zruší a kapacita je opäť nezávislá na náboji.
Časť 3 z 3: sférický kondenzátor
- 1Nájdite elektrické pole. Používame guľovou Gaussovej plochy s polomerom r {\ displaystyle r} medzi dvoma guľovými vodičov k Elektrické pole, kde vnútorná gule má polomer a, {\ displaystyle a,} vonkajšia guľa má polomer b, {\ displaystyle B, } a a <r <b. {\ displaystyle a <r <b.} Rozloha Gaussovej sféry je 4πr2. {\ Displaystyle 4 \ pi r^{2}.}
- ∮SE⋅dS = Qϵ0E4πr2 = Qϵ0E = Q4πr2ϵ0 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mast _ {S} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} & = {\ frac { Q} {\ epsilon _ {0}}} \\ E4 \ pi r^{2} & = {\ frac {Q} {\ epsilon _ {0}}} \\ E & = {\ frac {Q} {4 \ pi r^{2} \ epsilon _ {0}}} \ end {zarovnaný}}}
- Je to rovnaké elektrické pole ako v bodovom náboji. Databodů radiálne od stredu gule.
- 2Nájdite potenciál. Integrujeme sa od {\ displaystyle a} do b. {\ Displaystyle b.}
- V = −∫CE⋅dl = Q4πϵ0∫ab1r2dr = Q4πϵ0 (−1b −− 1a) = Q4πϵ0 (1a − 1b) {\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} V & =-\ int _ {C} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} \\ & = {\ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int _ {a}^{b} {\ frac {1} {r^{2}}} \ mathrm {d} r \\ & = {\ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {-1} {b}} -{\ frac {-1} {a}} \ right) \\ & = {\ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {1} {a}} -{\ frac {1} {b}} \ vpravo) \ end {zarovnaný}}}
- 3Nájdite kapacitu. Výraz 1a − 1b {\ displaystyle {\ frac {1} {a}}-{\ frac {1} {b}}} možno zjednodušiť na b − aab. {\ Displaystyle {\ frac {ba} {ab} }.}
- C = 4πϵ0 (abb − a) {\ Displaystyle C = 4 \ pi \ epsilon _ {0} \ left ({\ frac {ab} {ba}} \ right)}
Je zaujímavé zvážiť kapacitu izolovaného sférického vodiča.
- Je zaujímavé zvážiť kapacitu izolovaného sférického vodiča. V tomto prípade, b → ∞, {\ displaystyle b \ to \ infty,} takže potenciál je vyhodnotená ako nižšie miesto.
- V = Q4πϵ0 (1a − 1∞) = Q4πϵ0a {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} V & = {\ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ left ({\ frac {1} { a}}-{\ frac {1} {\ infty}} \ right) \\ & = {\ frac {Q} {4 \ pi \ epsilon _ {0} a}} \ end {zarovnaný}}}
- Potom sa kapacita tejto izolovanej sféry vyhodnotí ako C = 4πϵ0a. {\ Displaystyle C = 4 \ pi \ epsilon _ {0} a.}
