Ako vypočítať pravdepodobnosti kvantových stavov?

Vektor kvantového stavu pre časticu spin-0,5 je možné opísať dvojrozmerným vektorovým priestorom označujúcim rotáciu nahor a nadol.

Kvantový stav je abstraktný opis častice. Stav opisuje rozdelenie pravdepodobnosti pre pozorovateľné častice, ako je moment hybnosti, hybnosti, atď

Že pravdepodobnosti budú rovnaké — Keďže išlo o rovnaké vnútorné produkty, ako boli nájdené minule, vyplýva z toho, že pravdepodobnosti budú rovnaké.

V tomto článku sa budeme zaoberať časticami spin-0,5 a zameraním sa iba na ich hybnú silu. Vektor kvantového stavu pre časticu spin-0,5 je možné opísať dvojrozmerným vektorovým priestorom označujúcim rotáciu nahor a nadol. Pokiaľ rozpoznáme zložku rotácie, ktorú merame, ako aj náš konkrétny základ, pomocou ktorého popisujeme stav, môžeme zo samotného stavu zistiť množstvo vlastností.

Pri výpočte pravdepodobností nie je žiadna výhoda v použití maticovej mechaniky pred priamym preberaním vnútorných produktov.

Jazyk maticovej mechaniky tieto výpočty veľmi uľahčí, ale najskôr musíme pochopiť, čo sa deje. Tieto jednoduché výpočty tiež začnú odhaľovať poznatky o kvantovej mechanike a o tom, ako neinterpretačná je teória.

Časť 1 z 3: základy

1
Pochopte notáciu bra-ket. Bra-ket notácia je široko používaná v kvantovej mechanike a môže chvíľu trvať, kým si na ňu zvyknete.
- Stav je označený vektorom ket $| \ psi \ rangle.$ Na označenie užitočných informácií potrebujeme základ, s ktorým budeme pracovať. Spravidla nastavíme os $Z$ ako základ pre štáty, s ktorými budeme v tomto článku pracovať, podobne ako ako si môžeme vybrať karteziánske súradnice na reprezentáciu zložiek lineárnej hybnosti alebo elektrického poľa. Je možné zvoliť aj iné základne - napríklad os $X$ môže byť rovnako ľahko základom, pre ktorý opisujeme stav $| \ psi \ rangle.$
- Na základe z $Z$ môže byť stav napísaný nasledovne.
  - $| \ psi \ rangle = c _ {{ +}} | \ uparrow _ {{z}} \ rangle +c _ {{-}} | \ downarrow _ {{z}} \ rangle$
- Ako vidíme, $| \ psi \ rangle$ je napísaný v základe $Z$ pozostáva zo stavov hore a dole. Tieto základné prvky tvoria kompletný súbor, takže tieto dva základné prvky sú všetko, čo je potrebné na opis rotácie častíc v smere $Z$ . Konštanty pred súpravami sa nazývajú pravdepodobnostné amplitúdy a sú spravidla komplexné čísla. Vektorový priestor, ktorý popisuje častice spin-0,5 (a častice v kvantovej mechanike všeobecne), sa nazýva Hilbertov priestor, čo je v zásade glorifikovaný euklidovský priestor.
- Klasicky by mala byť častica vždy v definitívnom stave - buď sa roztočila, alebo roztočila. Ako uvidíme, toto nie je nevyhnutne prípad v kvantovej mechanike - častice môžu byť v superpozícii dvoch štátov v rovnakom čase!
2
Vezmite vnútorné výrobky do notácie bra-ket.
- Najviac základné operácie vykonaná, je vnútorná produkt (skalárny súčin je vnútorný produkt). Vnútorný súčin $\ langle \ phi | \ psi \ rangle$ popisuje ket $| \ psi \ rangle$ ktorý pôsobí vektor podprsenky $\ langle \ phi |.$ Ako možno viete, vnútorné produkty v dôsledku toho prinášajú skalárne škody. Fyzický význam vnútorného produktu je ten, že popisuje amplitúdu pravdepodobnosti častíc, ktoré sa pôvodne nachádzali v stave $| \ psi \ rangle$ v stave $| \ phi \ rangle.$
- S využitím našich znalostí vnútorného produktu, môžeme teraz písať o stave | ψ⟩ {\ displaystyle | \ psi \ Rangl} $| \ psi \ rangle$ z hľadiska vnútorných výrobkov. Pamätajte si, že keď sa podprsenka stretne s ket, vytvoria zátvorku (vnútorný výrobok) a v dôsledku toho sú to iba čísla.
  - $| \ psi \ rangle = | \ uparrow _ {{z}} \ rangle \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle +| \ downarrow _ {{z}} \ rangle \ langle \ downarrow _ { {z}} | \ psi \ rangle$
3
Pochopte vnútorné produkty základných vektorov.
- Pretože základné prvky sú ortonormálne, vnútorný súčin stavu hore so stavom nadol je 0 (a naopak).
  - $\ langle \ downarrow _ {{z}} | \ uparrow _ {{z}} \ rangle = \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ downarrow _ {{z}} \ rangle = 0$
- Naproti tomu vnútorný súčin základného vektora so sebou samým je 1, ako je určené našimi normalizačnými podmienkami.
  - $\ langle \ uparrow _ {{z}} | \ uparrow _ {{z}} \ rangle = \ langle \ downarrow _ {{z}} | \ downarrow _ {{z}} \ rangle = 1$
- Naše základ prvky $| \ uparrow _ {{z}} \ rangle$ a $| \ downarrow _ {{z}} \ rangle$ boli zvolené tak, aby boli orthonormal. Ak by sme začali s časticou v hore stave a zmerali by sme spin, nebola by žiadna šanca, že by sme našli časticu v dole, a naopak. Zistili by sme však, že existuje 100% pravdepodobnosť, že častica v hornom stave je meraná ako v hore stave.
- Pretože je stav normalizovaný, očakávame, že vnútorný súčin samotného štátu je tiež 1.
  - $\ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1$
4
Vypočítajte pravdepodobnosti. Vieme, že každý pozorovateľ musí mať skutočnú hodnotu, ale povedali sme len, že amplitúdy sú spravidla komplexné čísla. Aby sme našli skutočnú pravdepodobnosť, vezmeme modul štvorca vnútorného produktu.
- Pravdepodobnosť, že v stave hore $| \ psi \ rangle$ možno nájsť ľubovoľný stav | ψ⟩ {\ Displaystyle | \ psi \ rangle}, označuje | | ⟨↑ z | ψ⟩ | 2. {\ Displaystyle | \ langle \ uparrow _ {z} | \ psi \ rangle |^{2}.} $| \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle |^{{2}}.$ Pretože amplitúda môže byť komplexná, modul na druhú je amplitúda vynásobená jej komplexným konjugátom. Označíme-konjugáty podľa * {\ displaystyle *} $*$ symbol.
  - $| \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle | ^{{2}} = \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle ^{{**} \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle$

Časť 2 z 3: príklad

1
Nižšie nájdete pravdepodobnosti stavu a skontrolujte, či sa podľa potreby spájajú do jednoty.
- $| \ psi \ rangle = {\ frac {i} {{\ sqrt {3}}}} | \ uparrow _ {{z}} \ rangle +{\ sqrt {{\ frac {2} {3}}}} | \ downarrow _ {{z}} \ rangle$
2
Vezmite si vnútorné výrobky. Aby sme našli amplitúdu pravdepodobnosti, že sa častica nachádza v hornom stave, vezmeme vnútorný súčin pre stav hore a dole.
- $\ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle = {\ frac {i} {{\ sqrt {3}}}} \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ uparrow _ {{z} } \ rangle +{\ sqrt {{\ frac {2} {3}}}} \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ downarrow _ {{z}} \ rangle = {\ frac {i} {{ \ sqrt {3}}}}$
- $\ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle = {\ frac {i} {{\ sqrt {3}}}} \ langle \ downarrow _ {{z}} | \ uparrow _ {{z} } \ rangle +{\ sqrt {{\ frac {2} {3}}}} \ langle \ downarrow _ {{z}} | \ downarrow _ {{z}} \ rangle = {\ sqrt {{\ frac { 2} {3}}}}$
3
Amplitúda námestia. Pravdepodobnosť je modul na druhú. Pamätajte si, že štvorcový modul znamená vynásobenie amplitúdy komplexným konjugátom.
- $| \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle |^{{2}} = {\ frac {-i} {{\ sqrt {3}}}} {\ frac {i} {{\ sqrt {3}}}} = {\ frac {1} {3}}$
- $| ⟨↓ z | ψ⟩ | 2 = 2323 = 23 {\ displaystyle | \ langle \ downarrow _ {z} | \ psi \ rangle |^{2} = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} = {\ frac {2} {3}}}$
4
Pridajte pravdepodobnosti. Jasne vidíme, že tieto pravdepodobnosti sú 1, takže náš daný stav je normalizovaný.
- $| \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle |^{{2}}+| \ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle |^{{2}} = {\ frac {1} {3}}+{\ frac {2} {3}} = 1$

Vnútorné produkty v dôsledku toho vracajú skalárne — Vnútorný produkt je opísaný ketom, na ktorý pôsobí vektor podprsenky. Ako možno viete, vnútorné produkty v dôsledku toho vracajú skalárne.

Časť 3 z 3: mechanika matice

1
Prepíšte ľubovoľný kvantový stav pomocou stĺpcového vektora.
- Najskôr sme si spomenúť na ľubovoľný stav písaný v podmienkach Z {\ displaystyle z} $Z$ báze.
  - $| \ psi \ rangle = | \ uparrow _ {{z}} \ rangle \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle +| \ downarrow _ {{z}} \ rangle \ langle \ downarrow _ { {z}} | \ psi \ rangle$
- Stav $| \ psi \ rangle$ možno napísať ako stĺpcový vektor. Pripomeňme, že klasický vektor, ako je lineárna hybnosť, možno zapísať ako ${\ mathbf {p}} = (p _ {{x}}, p _ {{y}}, p _ {{z}}),$ kde sme opustili jednotkové vektory. Vektor potom možno zapísať ako stĺpcový vektor. Najprv však musíme vytvoriť základ. Náš základ pre vektor lineárnej hybnosti je zrejmý z dolných indexov naznačujúcich karteziánske súradnice. Keď však píšeme stav pre hybnosť rotácie častice, musíme najskôr pochopiť, do ktorého základu stav píšeme. Akýkoľvek základ je v poriadku - stav sa nemení so súradnicami - ale reprezentáciasa mení.
- Môžeme písať naše ľubovoľný štát ako nasledujúce, kde boli vnútorné produkty dal jasne najavo, že sme vyjadrovať stav v Z {\ displaystyle z} $Z$ báze. Rovnako ako pri explicitnom vypísaní stavu v 1. časti by sme rovnako ľahko mohli napísať stav na základe x $X$ alebo v inom smere.
  - $| \ psi \ rangle \ to {\ begin {pmatrix} \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle \\\ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle \ end {pmatrix} }$
2
Prepíšte základné prvky z hľadiska stĺpcových vektorov. Všimnite si, aké jednoduché sú vektory.
- $| \ uparrow _ {{z}} \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ uparrow _ {{z}} \ rangle \\\ langle \ downarrow _ {{z} } | \ uparrow _ {{z}} \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}$
- $| \ downarrow _ {{z}} \ rangle = {\ begin {pmatrix} \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ downarrow _ {{z}} \ rangle \\\ langle \ downarrow _ {{z} } | \ downarrow _ {{z}} \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}$
3
Vezmite transpozičný konjugát a vytvorte vektory podprsenky. V Bra -ketovej notácii je vnútorný súčin v druhom argumente - to je ket vektor, zatiaľ čo v prvom argumente je antilineárny (konjugátovo -lineárny) - to znamená v podprsenkovom vektore. Preto pri písaní zodpovedajúcej podprsenky musíme vziať transpozíciu a vziať komplexný konjugát všetkých prvkov vo vektore.
- $\ langle \ psi | = {\ begin {pmatrix} \ langle \ psi | \ uparrow _ {{z}} \ rangle and \ langle \ psi | \ downarrow _ {{z}} \ rangle \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle ^{{*}} a \ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle ^{{*}} \ end {pmatrix}}$
4
Vezmite vnútorné produkty pomocou vektorov riadkov a stĺpcov. Vnútorné produkty pozostávajú z dvoch vektorov a prinášajú skalárny výkon, takže keď sa dva spoja, platia obvyklé pravidlá násobenia matice.
- Zoberme si vnútorný produkt štátu so sebou. Vidíme, že formulácia maticovej mechaniky je v súlade s našimi očakávaniami.
  - ${\ begin {zarovnaný} \ langle \ psi | \ psi \ rangle a = {\ begin {pmatrix} \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle ^{{*}} a \ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle ^{{*}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle \\\ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle \ end {pmatrix}} \ \ and = \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle ^{{*}} \ langle \ uparrow _ {{z} } | \ psi \ rangle +\ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle ^{{*}} \ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle \\ a = | \ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle |^{{2}}+| \ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle |^{{2}} = 1 \ end {zarovnaný }}$
5
Zopakujte príklad problému pomocou maticovej mechaniky.
- Prepíšte stav na základe z {\ Displaystyle z} $Z$ ako stĺpcový vektor.
  - $| \ psi \ rangle = {\ frac {1} {{\ sqrt {3}}}} {\ begin {pmatrix} i \\ {\ sqrt {2}} \ end {pmatrix}}$
- Vypočítajte amplitúdy.
  - $\ langle \ uparrow _ {{z}} | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} 1and0 \ end {pmatrix}} {\ frac {1} {{\ sqrt {3}}}} {\ begin {pmatrix } i \\ {\ sqrt {2}} \ end {pmatrix}} = {\ frac {i} {{\ sqrt {3}}}}$
  - $\ langle \ downarrow _ {{z}} | \ psi \ rangle = {\ begin {pmatrix} 0and1 \ end {pmatrix}} {\ frac {1} {{\ sqrt {3}}}} {\ begin {pmatrix } i \\ {\ sqrt {2}} \ end {pmatrix}} = {\ sqrt {{\ frac {2} {3}}}}$
- Keďže išlo o rovnaké vnútorné produkty, ako boli nájdené minule, vyplýva z toho, že pravdepodobnosti budú rovnaké.
- Aj keď v tomto článku nikdy nepoužívame žiadne matice, ukazuje sa, že sú kľúčové pre maticovú mechaniku, pretože predstavujú operátory. Napríklad, keď operátor momentu hybnosti otáčania ${\ hat {s}} _ {{z}}$ pôsobí na vlastné číslo operátora, výsledkom je vlastný tvar krát vlastné číslo zodpovedajúce tomuto vlastnému stavu. Vlastné číslo je množstvo skutočne pozorované v laboratóriu, pričom samotný akt aplikácie operátora zodpovedá meraniu vykonanému detektorom.
- Pri výpočte pravdepodobností nie je žiadna výhoda v použití maticovej mechaniky pred priamym preberaním vnútorných produktov. Pri práci s ďalšími témami, akými sú hodnoty očakávania, neistoty a problémy s vlastnými hodnotami/vlastnými hodnotami, je však potrebné kvôli prehľadnosti a jednoduchosti použiť matice.