Ako overiť princíp neistoty pre kvantový harmonický oscilátor?
Použitím riešenia základného stavu vezmeme hodnoty očakávaní polohy a hybnosti a overíme pomocou nich princíp neistoty.
Kvantový harmonický oscilátor je kvantovej analóg do klasického jednoduchého harmonického oscilátora. Použitím riešenia základného stavu vezmeme hodnoty očakávaní polohy a hybnosti a overíme pomocou nich princíp neistoty.
Časť 1 z 3: Riešenie v základnom stave
- 1Pripomeňme si Schrödingerovu rovnicu. Táto parciálne diferenciálne rovnice je základná pohybovej rovnice v kvantovej mechaniky, ktorá popisuje, ako kvantový stav ψ {\ displaystyle \ psi} sa vyvíja v čase. H^{\ displaystyle {\ hat {H}}} označuje hamiltonián, operátor energie, ktorý popisuje celkovú energiu systému.
- iℏ∂ψ∂t = H^ψ {\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ částečné \ psi} {\ čiastkové t}} = {\ hat {H}} \ psi}
- 2Napíšte hamiltonián pre harmonický oscilátor. Kým polohu a hybnosť premenné boli nahradené ich zodpovedajúcimi subjektmi, výraz stále podobá kinetickej a potenciálnej energie zo je klasický harmonický oscilátor. Pretože pracujeme vo fyzickom priestore, operátor polohy je daný vzorcom x^= x, {\ displaystyle {\ hat {x}} = x,} zatiaľ čo operátor hybnosti je daný p^= - iℏ∂∂x. { \ Displaystyle {\ hat {p}} =-i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}}.}
- H^= p^22m+12mω2x^2 {\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}}^{2}} {2m}}+{\ frac {1} {2 }} m \ omega ^{2} {\ hat {x}} ^{2}}
- 3Napíšte časovo nezávislú Schrödingerovu rovnicu. Vidíme, že hamiltonián nezávisí výslovne na čase, takže riešením rovnice budú stacionárne stavy. Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica je rovnica vlastných čísel, takže jej vyriešenie znamená, že nachádzame energetické čísla a im zodpovedajúce vlastné funkcie - vlnové funkcie.
- −ℏ22md2ψdx2+12mω2x2ψ = Eψ {\ displaystyle -{\ frac {\ hbar ^{2}} {2m}} {\ frac {\ mathrm {d} ^{2} \ psi} {\ mathrm {d} x ^{ 2}}}+{\ frac {1} {2}} m \ omega ^{2} x ^{2} \ psi = E \ psi}
- 4Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Táto diferenciálna rovnica má variabilné koeficienty a nedá sa ľahko vyriešiť elementárnymi metódami. Po normalizácii však môže byť riešenie pre základný stav napísané takto. Nezabudnite, že toto riešenie popisuje iba jednorozmerný oscilátor.
- ψ (x) = (mωπℏ) 0,25exp (−mω2ℏx2) {\ displaystyle \ psi (x) = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right)^{0, 25} \ exp \ vľavo (-{\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}} x^{2} \ vpravo)}
- Toto je Gaussov stred v bode x = 0. {\ Displaystyle x = 0.} Skutočnosť, že táto funkcia je dokonca použiteľná, využijeme v ďalšej časti.
Pripomeňme si Heisenbergov princíp neistoty pre polohu a hybnosť.
Časť 2 z 3: hodnoty očakávaní
- 1Pripomeňme si vzorec neistoty. Neistota pozorovateľnej informácie, ako je poloha, je matematicky štandardnou odchýlkou. To znamená, že nájdeme priemernú hodnotu, vezmeme každú hodnotu a odčítame od priemeru, odmocníme tieto hodnoty a priemer a potom vezmeme druhú odmocninu.
- σx = ⟨x2⟩ − ⟨x⟩2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {\ langle x ^{2} \ rangle -\ langle x \ rangle ^{2}}}}
- 2Nájdite ⟨x⟩ {\ displaystyle \ langle x \ rangle} . Pretože je funkcia rovnomerná, môžeme zo symetrie odvodiť, že ⟨x⟩ = 0. {\ Displaystyle \ langle x \ rangle = 0.}
- Ak nastavíte integrál potrebný na vyhodnotenie, zistíte, že integrand je nepárna funkcia, pretože nepárna funkcia krát párna funkcia je nepárna.
- ⟨X⟩ = ∫ − ∞∞x | ψ (x) | 2dx {\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x | \ psi (x) |^{2} \ mathrm {d} x}
- Jednou z vlastností nepárnej funkcie je, že pre každú kladnú hodnotu funkcie existuje doppelgänger - zodpovedajúca záporná hodnota, ktorý ich zruší. Vzhľadom k tomu, hodnotíme cez všetky x {\ displaystyle x} hodnoty, poznáme integrálne vyhodnotí na 0°C, bez toho aby sa v skutočnosti vykonať výpočty.
- Ak nastavíte integrál potrebný na vyhodnotenie, zistíte, že integrand je nepárna funkcia, pretože nepárna funkcia krát párna funkcia je nepárna.
- 3Vypočítajte ⟨x2⟩ {\ displaystyle \ langle x^{2} \ rangle} . Pretože naše riešenie je napísané ako spojitá vlnová funkcia, musíme použiť integrál uvedený nižšie. Integrálne opisuje pravdepodobná hodnota x2 {\ displaystyle x ^ {2}} integrovaný cez všetky priestoru.
- ⟨X2⟩ = ∫ − ∞∞x2 | ψ (x) | 2dx {\ displaystyle \ langle x^{2} \ rangle = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x^{2} | \ psi (x) |^{2} \ mathrm {d} x}
- 4Nahraďte vlnovú funkciu na integrál a zjednodušte ju. Vieme, že vlnová funkcia je rovnomerná. Štvorec párnej funkcie je rovnomerný, takže môžeme vytiahnuť faktor 2 a zmeniť dolnú hranicu na 0.
- ⟨X2⟩ = 2 (mωπℏ) 0,5∫0∞x2exp (−mωℏx2) dx {\ displaystyle \ langle x^{2} \ rangle = 2 \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ vpravo)^{0,5} \ int _ {0}^{\ infty} x^{2} \ exp \ left (-{\ frac {m \ omega} {\ hbar}} x^{ 2} \ vpravo) \ mathrm {d} x}
- 5Ohodnotiť. Najprv nechajte α = mωℏ. {\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}.} Ďalej namiesto integrácie po častiach použijeme funkciu gama.
- ⟨X2⟩ = 2 (mωπℏ) 0,5∫0∞x2e − αx2dx, u = αx2 = 2 (mωπℏ) 0,5∫0∞uαe − udu12αx, x = uα = (mωπℏ) 0,5α − 1,5 ∫0∞u0,5e − udu = (mωπℏ) 0,5 (mωℏ) −1,5Γ (32), Γ (32) = π2 = ℏmω1ππ2 = ℏ2mω {\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} \ langle x^{ 2} \ rangle & = 2 \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right)^{0,5} \ int _ {0}^{\ infty} x^{2} e^{-\ alpha x^{2}} \ mathrm {d} x, \ \ u = \ alpha x^{2} \\ & = 2 \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right)^{0,5} \ int _ {0}^{\ infty} {\ frac {u} {\ alpha}} e^{-u} \ mathrm {d} u {\ frac { 1} {2 \ alpha x}}, \ \ x = {\ sqrt {\ frac {u} {\ alpha}}} \\ & = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar} } \ right)^{0,5} \ alpha^{-1,5} \ int _ {0}^{\ infty} u^{0,5} e^{-u} \ mathrm {d} u \ \ & = \ vľavo ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ vpravo)^{0,5} \ vľavo ({\ frac {m \ omega} {\ hbar}} \ vpravo)^ {-1,5} \ Gamma \ left ({\ frac {3} {2}} \ right), \ \ \ Gamma \ left ({\ frac {3} {2}} \ right) = {\ frac { \ sqrt {\ pi}} {2}} \\ &= {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \\ & = {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}} \ end {aligned}}}
- 6Príďte k neistote v pozícii. Použitím vzťahu, ktorý sme napísali v kroku 1 tejto časti, σx {\ Displaystyle \ sigma _ {x}} bezprostredne vyplýva z našich výsledkov.
- σx = ℏ2mω {\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}}}
- 7Nájdite ⟨p⟩ {\ Displaystyle \ langle p \ rangle}
. Rovnako ako pre priemernú pozíciu je možné použiť argument symetrie, ktorý vedie k ⟨p⟩ = 0. {\ Displaystyle \ langle p \ rangle = 0.}
- 8Vypočítajte ⟨p2⟩ {\ displaystyle \ langle p^{2} \ rangle} . Namiesto použitia vlnovej funkcie na priamy výpočet tejto očakávanej hodnoty môžeme použiť energiu vlnovej funkcie na zjednodušenie potrebných výpočtov. Energia základného stavu harmonického oscilátora je uvedená nižšie.
- E0 = 12ℏω {\ displaystyle E_ {0} = {\ frac {1} {2}} \ hbar \ omega}
- 9Vzťahujte energiu základného stavu s kinetickou a potenciálnou energiou častíc. Očakávame, že tento vzťah bude platiť nielen pre akúkoľvek pozíciu a hybnosť, ale aj pre ich hodnoty očakávania.
- 12ℏω = ⟨p2⟩2m+12mω2⟨x2⟩ {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ hbar \ omega = {\ frac {\ langle p^{2} \ rangle} {2m}}+{\ frac {1} {2}} m \ omega ^{2} \ langle x ^{2} \ rangle}
- 10Vyriešiť ⟨p2⟩ {\ displaystyle \ langle p^{2} \ rangle} .
- mℏω = ⟨p2⟩ +m2ω2ℏ2mω {\ displaystyle m \ hbar \ omega = \ langle p^{2} \ rangle +m^{2} \ omega^{2} {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}} }
- ⟨P2⟩ = mℏω2 {\ displaystyle \ langle p^{2} \ rangle = {\ frac {m \ hbar \ omega} {2}}}
- 11Dorazte do neistoty v hybnosti.
- σp = mℏω2 {\ displaystyle \ sigma _ {p} = {\ sqrt {\ frac {m \ hbar \ omega} {2}}}}
Kvantový harmonický oscilátor je kvantový analóg klasického jednoduchého harmonického oscilátora.
Časť 3 z 3: overenie zásady neistoty
- 1Pripomeňme si Heisenbergov princíp neistoty pre polohu a hybnosť. Princíp neurčitosti je základným limitom presnosti, s ktorou môžeme merať určité páry pozorovateľných, ako je poloha a hybnosť. Pozrite sa na tipy pre ďalšie informácie o princípe neistoty.
- σxσp≥ℏ2 {\ displaystyle \ sigma _ {x} \ sigma _ {p} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}}}
- 2Nahraďte neistoty kvantového harmonického oscilátora.
- ℏ2mωmℏω2≥ℏ2ℏ2≥ℏ2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}} {\ sqrt {\ frac {m \ hbar \ omega} {2}}} & \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \\ {\ frac {\ hbar} {2}} & \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ end {zarovnaný}}}
- Naše výsledky sú v súlade so zásadou neistoty. V skutočnosti tento vzťah dosahuje rovnosť iba v základnom stave - ak sa použijú vyššie energetické stavy, neistoty v polohe a hybnosti len rastú.
Princíp neurčitosti je základným limitom presnosti, s ktorou môžeme merať určité páry pozorovateľných, ako je poloha a hybnosť.
- Existujú dva zázemím ako k prečo princíp neurčitosti existuje.
- Z hľadiska mechaniky vĺn sú vyjadreniami vlnovej funkcie z hľadiska polohy a hybnosti Fourierove transformácie navzájom. Jednou z vlastností Fourierovej transformácie je, že funkciu a jej Fourierovu transformáciu nie je možné ostro lokalizovať.
- Jednoduchým príkladom je Fourierova transformácia obdĺžnikovej funkcie. Keď sa šírka funkcie zmenšuje (stáva sa viac lokalizovanou), Fourierova transformácia (sinc krivka) sa stáva plochejšou a plochejšou. Extrémnym príkladom je funkcia Dirac delta, kde je šírka nekonečne malá (perfektná lokalita). Jeho Fourierova transformácia je konštanta (nekonečná neistota).
- Ďalší spôsob, ako sa na to pozrieť, je z maticovej mechaniky. Operátory polohy a hybnosti majú nenulový komutačný vzťah. Ak dochádzajú dvaja operátori, potom by ich komutačný vzťah, ako je uvedené v zátvorkách nižšie, bol 0.
- [x^, p^] = x^p^−p^x^= iℏ {\ displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = {\ hat {x}} {\ hat {p}}-{\ hat {p}} {\ hat {x}} = i \ hbar}
- Ukazuje sa, že tento komutačný vzťah musí znamenať základný princíp neistoty. V prípade, že prevádzkovateľ x ^ {\ displaystyle {\ hat {x}}} pôsobí na stave, potom wavefunction zrúti do eigenstate x ^ {\ displaystyle {\ hat {x}}} s unikátnym merania (eigenvalue). Vlastný štát x^{\ Displaystyle {\ hat {x}}} nemusí byť vlastným číslom iného operátora .^ Ak je to tak, potom neexistuje žiadne jedinečné meranie. pre pozorovateľné p, {\ displaystyle p,} čo znamená, že stav je možné zapísať iba ako lineárnu kombináciu vlastné pomery hybnosti. (Keď dvaja operátori dochádzajú, potom majú spoločnú množinu vlastných čísel (nazýva sa to degenerácia) a obe pozorovateľné súčasti je možné súčasne merať s ľubovoľnou presnosťou. To je vždy prípad klasickej mechaniky.)
- Odtiaľ pochádza princíp neurčitosti. Nie je to kvôli obmedzeniam našich nástrojov, že nemôžeme zmerať polohu a hybnosť častice s ľubovoľnou presnosťou. Je to skôr základná vlastnosť samotných častíc.
![[{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = {\ hat {x}} {\ hat {p}}-{\ hat {p}} {\ hat {x}} = i \ hbar](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5c41604e9e57dd75dc8e6ed8abe77a732ae341)
Prečítajte si tiež: Ako sčítať alebo odčítať vektory?
