Ako Lorentz zvýšiť elektromagnetické rovinné vlny?

Vykonávanie Lorentzových transformácií na elektromagnetických (EM) vlnách je jednoduchá aplikácia základných princípov špeciálnej relativity a elektromagnetizmu.

Živé Lorentz transformáciou na elektromagnetické (EM) vĺn je jednoduchá aplikácia zo základných princípov zo špeciálnej teórie relativity a elektromagnetizmu.

V tomto článku sa budeme zaoberať problémom, v ktorom dostaneme elektrické pole šíriace sa v smere z $E _ {{x}} (z, t) = e _ {{0}} \ sin (k (z-ct)),$ kde $E _ {{0}}, k$ sú kladné konštanty a $C.$ je rýchlosť svetla.

Kroky

1
Vzťahujte elektrické a magnetické polia. Veľkosť týchto dvoch polí sa líši iba konštantou prostredníctvom vzťahu | E | = c | B |. {\ Displaystyle | \ mathbf {E} | = c | \ mathbf {B} |.} $| {\ mathbf {e}} | = c | {\ mathbf {b}} |.$ Tiež vieme, že tieto dve polia polia a smer šírenia musia byť navzájom ortogonálne cez B = 1ck^× E, {\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ frac {1} {c}} {\ hat {\ mathbf {k}}} \ times \ mathbf {E},} ${\ mathbf {b}} = {\ frac {1} {c}} {\ hat {{\ mathbf {k}}}} \ times {\ mathbf {e}},$ kde k^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {k}}}} ${\ hat {{\ mathbf {k}}}}$ ukazuje v smere šírenia - v našom prípade v smere z. Oba tieto poznatky naznačujú, že magnetické pole je možné zapísať aj takto.
- $Cb _ {{y}} = e _ {{0}} \ sin (k (z-ct))$
Pripomeňme si lorentzove transformácie pre elektrické a magnetické polia.
2
Pripomeňme si transformácie lorentz pre smer z. Pretože zosilňujeme iba v jednom smere, ostatné dve dimenzie kolmé na smer šírenia môžeme ignorovať.
- $Ct^{{\ prime}} = \ gamma (ct- \ beta z)$
- $Z^{{\ prime}} = \ gamma (z- \ beta ct)$
3
Pripomeňme si lorentzove transformácie pre elektrické a magnetické polia. Tieto transformácie je možné odvodiť transformáciou Faradayovho tenzora. Môžete byť oboznámení s posilňovaním v smere x - v prípade smeru z je potrebné iba vykonať cyklickú permutáciu zložiek v transformáciách, pretože súradnicový systém je možné zvoliť ľubovoľne. Osobitnú pozornosť tu zohráva zložitosť, s ktorou sú tieto dve polia spojené v rámci Lorentzovho impulzu.
- Elektrické polia
  - $E _ {{z}}^{{\ prime}} = e _ {{z}}$
  - $E _ {{x}}^{{\ prime}} = \ gamma (e _ {{x}}-\ beta cb _ {{y}})$
  - $E _ {{y}}^{{\ prime}} = \ gamma (e _ {{y}}+\ beta cb _ {{x}})$
- Magnetické polia
  - $Cb _ {{z}}^{{\ prime}} = cb _ {{z}}$
  - $Cb _ {{x}}^{{\ prime}} = \ gamma (cb _ {{x}}+\ beta e _ {{y}})$
  - $Cb _ {{y}}^{{\ prime}} = \ gamma (cb _ {{y}}-\ beta e _ {{x}})$
4
Lorentz zvyšuje elektrické pole. Prvým krokom k napísaniu výrazu pre zosilnené elektrické pole je jednoducho napísať Ex ′. {\ Displaystyle E_ {x}^{\ prime}.} $E _ {{x}}^{{\ prime}}.$
- ${\ begin {aligned} e _ {{x}}^{{\ prime}} a = \ gamma (e _ {{x}}-\ beta cb _ {{y}}) \\ a = \ gamma [e _ {{ 0}} \ sin (k (z-ct))-\ beta e _ {{0}} \ sin (k (z-ct))] \\ a = \ gamma (1- \ beta) e _ {{0} } \ sin (k (z-ct)) \ end {zarovnaný}}$
Posilnené elektrické a magnetické polia je teda možné zapísať ako také.
5
Nájdite $z-ct$ z hľadiska vylepšeného rámca. Aj keď je vyššie uvedené elektrické pole pravdivé, je neúplné, pretože chceme zapísať všetky veličiny z hľadiska zosilneného rámca. Tento krok vyžaduje, aby ste Lorentzove transformácie z kroku 2 zapísali v inverznej forme.
- $Ct = \ gamma (ct^{{\ prime}}+\ beta z^{{\ prime}})$
- $Z = \ gamma (z^{{\ prime}}+\ beta ct^{{\ prime}})$
- ${\ begin {aligned} z-ctand = \ gamma (z^{{\ prime}}+\ beta ct^{{\ prime}})-\ gamma (ct^{{\ prime}}+\ beta z^ {{\ prime}}) \\ a = \ gamma (z^{{\ prime}}+\ beta ct^{{\ prime}}-ct^{{\ prime}}-\ beta z^{{\ prime}}) \\ a = \ gamma (z^{{\ prime}} (1- \ beta)+ct^{{\ prime}} (1- \ beta)) \\ a = \ gamma (1- \ beta) (z^{{\ prime}}-ct^{{\ prime}}) \ end {zarovnaný}}$
6
Náhradou za výraz zosilneného elektrického poľa. Na základe vzťahov stanovených v kroku 1 je veľkosť nižšie uvedeného množstva tiež rovná magnetickému poľu cBy ′. {\ Displaystyle cB_ {y}^{\ prime}.} $Cb _ {{y}}^{{\ prime}}.$
- $E _ {{x}}^{{\ prime}} = \ gamma (1- \ beta) e _ {{0}} \ sin [k \ gamma (1- \ beta) (z^{{\ prime}}- ct^{{\ prime}})]]$
7
Píšte z hľadiska dopplerovského faktora. Množstvo γ (1-β) {\ displaystyle \ gamma (1- \ beta)} $\ gamma (1- \ beta)$ môže byť zjednodušená na prevrátená hodnota Dopplerovho faktora. Využívame vzťahu γ = 11-β2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 \ p ^ {2}}}}} $\ gamma = {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ beta ^{{2}}}}}}$ nižšie.
- ${\ begin {zarovnaný} \ gamma (1- \ beta) a = {\ frac {1- \ beta} {{\ sqrt {1- \ beta ^{{2}}}}}}} \\ a = {\ frac {{\ sqrt {1- \ beta}} {\ sqrt {1- \ beta}}} {{\ sqrt {1+ \ beta}} {\ sqrt {1- \ beta}}}} \\ {\ frac {1} {\ kappa}} a = {\ sqrt {{\ frac {1- \ beta} {1+ \ beta}}}} \ end {zarovnaný}}$
- Hore, κ = 1+β1 − β {\ displaystyle \ kappa = {\ sqrt {\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}}}} $\ kappa = {\ sqrt {{\ frac {1+ \ beta} {1- \ beta}}}}$ (všimnite si zmeny znamienka) je Dopplerov faktor - faktor podľa ktoré vlnová dĺžka zistená pozorovateľom mení vzhľadom na zdroj. Toto dáva intuitívny zmysel v probléme načrtnutom v tomto článku, pretože sme sa zaoberali rovinnými vlnami, takže nie je prekvapením, že by sa mal objaviť Dopplerov faktor. Posilnené elektrické a magnetické polia je teda možné zapísať ako také.
  - $E _ {{x}}^{{\ prime}} = cb _ {{y}}^{{\ prime}} = {\ frac {1} {\ kappa}} e _ {{0}} \ sin \ left ({\ frac {k} {\ kappa}} (z^{{\ prime}}-ct^{{\ prime}}) \ vpravo)$
- Teraz jasne vidíme, ako sa transformujú elektrické a magnetické polia - amplitúdy sa zmenšujú (znížená intenzita) a frekvencie sa zmenšujú, čo zodpovedá dlhším vlnovým dĺžkam (červený posun).

Pretože chceme zapísať všetky veličiny z hľadiska zosilneného rámca — Aj keď je vyššie uvedené elektrické pole pravdivé, je neúplné, pretože chceme zapísať všetky veličiny z hľadiska zosilneného rámca.

Tipy

V posilnenom rámci môžeme nájsť aj súvisiace veličiny, ako napríklad Poyntingov vektor ${\ mathbf {s}}^{{\ prime}} = {\ frac {1} {\ mu _ {{0}}}} ({\ mathbf {e}}^{{\ prime}} \ times { \ mathbf {b}}^{{\ prime}})$ a hustota energie $U _ {{em}}^{{\ prime}} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {{0}} e^{{\ prime 2}}+{\ frac {1} {2 \ mu _ {{0}}}} b^{{\ prime 2}},$ pretože nie je preferovaný žiadny zotrvačný rámec. Vyhodnotenie Poyntingovho vektora v posilnenom rámci by malo priniesť výsledok, ktorý súhlasí so smerom šírenia, pretože Poyntingov vektor predstavuje hustotu toku energie.

Prečítajte si tiež: Ako vyrobiť mini ľadovec?