Ako odvodiť sčítanie rýchlostí v špeciálnej relativite?

Že galilejská relativita nesprávne pridáva rýchlosti — Samozrejme, so kontrolou, že špeciálna relativita zaisťuje, že všetky rýchlosti sú menšie ako rýchlosť svetla, prichádza kontrola, že galilejská relativita nesprávne pridáva rýchlosti.

Špeciálna relativita je teória Alberta Einsteina, ktorá nahrádza newtonovskú mechaniku. Je to priamy dôsledok objavov elektromagnetizmu v 19. storočí, ktoré predpovedali rýchlosť svetla. Vďaka svojmu tvrdeniu o nemennosti rýchlosti svetla vo vákuu má táto teória veľmi neintuitívne dôsledky, z ktorých jedným je nelinearita pridávania rýchlosti.

Získajte sčítanie rýchlostí v špeciálnej relativite.

Tento článok bude fungovať v jednej priestorovej dimenzii a jednej časovej dimenzii (1+1).

Časť 1 z 2: odvodenie

1
Začnite s transformáciami lorentz. Pri zvýšení v x {\ displaystyle x} $X$ smer, v y {\ displaystyle y} $Y$ a Z {\ displaystyle z} $Z$ komponenty zostávajú nedotknuté.
- ${\ begin {zarovnaný} ct^{{\ prime}} a = \ gamma (ct- \ beta x) \\ x^{{\ prime}} a = \ gamma (x- \ beta ct) \ end {zarovnané }}$
- Tu $\ beta = {\ frac {v} {c}}$ a $\ gamma = {\ frac {1} {{\ sqrt {1-{\ frac {v^{{2}}} {c^{{2}}}}}}}},$ Lorentzov faktor. Voľba premenných s mierky časovej dimenzii k jednotkám zo vzdialenosti umožňuje symetriu časopriestore na lesku.
- V uvedených transformáciách sú však znamienka mínus. V záujme súladu s konečnou odpoveďou použijeme inverzné Lorentzove transformácie. Jediné rozdiely sú vymieňať z hlavných symbolov a zmena vo znamení - posilnenie späť do rámu súradníc je podobný zvýšenie v smere zápornej.
- ${\ begin {aligned} ctand = \ gamma (ct^{{\ prime}}+\ beta x^{{\ prime}}) \\ xand = \ gamma (x^{{\ prime}}+\ beta ct ^{{\ prime}}) \ end {zarovnaný}}$
2
Transformácie prepíšte diferenciálmi. Je dôležité si uvedomiť, že táto transformácia držať s (nekonečne) mení v polohe dx {\ displaystyle \ mathrm {d} x} ${\ mathrm {d}} x$ a čas CDT, {\ displaystyle c \ mathrm {d} t,} $C {\ mathrm {d}} t,$ niečo, čo je zaručené linearite transformácií.
- ${\ begin {aligned} {\ mathrm {d}} xand = \ gamma ({\ mathrm {d}} x^{{\ prime}}+\ beta _ {1} c {\ mathrm {d}} t^ {{\ prime}}) \\ c {\ mathrm {d}} tand = \ gamma (c {\ mathrm {d}} t^{{\ prime}}+\ beta _ {1} {\ mathrm {d }} x^{{\ prime}}) \ end {zarovnaný}}$
- Tu je relatívna rýchlosť medzi laboratórnym a pohyblivým rámcom $\ beta _ {1}$
- Malo by vám byť zrejmé, že priestor a čas vykazujú symetrie z týchto rovníc.
3
Zistite rýchlosť nameranú v laboratórnom rámci. Rozdeľ dx {\ displaystyle \ mathrm {d} x} ${\ mathrm {d}} x$ od CDT, {\ displaystyle c \ mathrm {d} t,} $C {\ mathrm {d}} t,$ a na vedomie, že γ {\ displaystyle \ gamma} $\ gama$ ruší.
- ${\ frac {{\ mathrm {d}} x} {c {\ mathrm {d}} t}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} x^{{\ prime}}+\ beta _ { 1} c {\ mathrm {d}} t^{{\ prime}}} {c {\ mathrm {d}} t^{{\ prime}}+\ beta _ {1} {\ mathrm {d}} x^{{\ prime}}}}$
4
Prepisujte iba z hľadiska rýchlostí. Rozdeľte zlomok napravo na cdt ′. {\ Displaystyle c \ mathrm {d} t^{\ prime}.} $C {\ mathrm {d}} t^{{\ prime}}.$
- ${\ frac {{\ mathrm {d}} x} {c {\ mathrm {d}} t}} = {\ frac {{\ frac {{\ mathrm {d}} x^{{\ prime}}} {c {\ mathrm {d}} t^{{\ prime}}}}+\ beta _ {1}} {1+ \ beta _ {1} {\ frac {{\ mathrm {d}} x^{ {\ prime}}} {c {\ mathrm {d}} t^{{\ prime}}}}}}$
- Tu ${\ frac {{\ mathrm {d}} x} {c {\ mathrm {d}} t}} = \ beta _ {3}$ je rýchlosť objektu meraná z laboratórneho rámca, zatiaľ čo ${\ frac {{\ mathrm {d}} x^{{\ prime}}} {c {\ mathrm {d}} t^{{\ prime}}}} = \ beta _ {2}$ je rýchlosť objektu meraná z pohybujúceho sa rámu (odkiaľ bol predmet emitovaný).
5
Získajte sčítanie rýchlostí v špeciálnej relativite. Slovo „prídavok“ je tu trochu nesprávne umiestnené, pretože doplnok je zjavne nelineárny. Ďalej to píšeme v bezrozmernej forme.
- $\ beta _ {3} = {\ frac {\ beta _ {1}+\ beta _ {2}} {1+ \ beta _ {1} \ beta _ {2}}}$
- Pokiaľ ide o rozmerové rýchlosti, vzorec znie $V_ {3} = {\ frac {v_ {1}+v_ {2}} {1+{\ frac {v_ {1} v_ {2}} {c^{{2}}}}}}.$ z $C^{{2}}$ faktor, možno potvrdiť, že rýchlosti oveľa menšie, než je rýchlosť svetla znížiť na známy rýchlosti pridávanie $V_ {3} = v_ {1}+v_ {2}.$

Dve rýchlosti pohybujúce sa 0,75 -násobku rýchlosti svetla nelineárne sčítajú až 0,96 c, a tak sa relativita zachraňuje.

Časť 2 z 2: kontrola konzistencie

1

Uvažujme o dvoch rýchlostiach, kde jednoduché sčítanie galilejskej relativity $\ beta _ {1}+\ beta _ {2}> 1$ , napr. Β1 $= 34, β2 = 34. {\$ Displaystyle $\ beta _ {1} = {\ frac {3} {4}}, \ beta _ {2} = {\ frac {3} {4}}.$
2
Nahradiť a vyriešiť.
- $\ beta _ {3} = {\ frac {{\ frac {3} {4}}+{\ frac {3} {4}}} {1+ \ left ({\ frac {3} {4}} \ vpravo) \ vľavo ({\ frac {3} {4}} \ right)}}} = {\ frac {{\ frac {6} {4}}} {{\ frac {25} {16}}}} = {\ frac {96} {100}}$
- Dve rýchlosti pohybujúce sa 0,75 -tiny rýchlosti svetla nelineárne súčtom 0,96 c, a tak sa relativita zachraňuje. Samozrejme, so kontrolou, že špeciálna relativita zaisťuje, aby všetky rýchlosti boli menšie ako rýchlosť svetla, prichádza kontrola, že galilejská relativita nesprávne pridáva rýchlosti.
3
Ukážte, že rýchlosť svetla vo vákuu je nemenná vo všetkých referenčných rámcoch.
- Nastavte $\ beta _ {2} = 1,$ a nechajte $\ beta _ {1}$ relatívnu rýchlosť medzi laboratórnym rámcom a pohyblivým rámcom. Scenár popisuje fotón emitovaný a pohybujúci sa v smere pohybujúceho sa rámca, kde $\ beta _ {3}$ je rýchlosť fotónu v laboratórnom rámci.
4
Nahradiť a vyriešiť. Poznámka doménu p {\ displaystyle \ beta} $\ beta$ je (-11). {\ Displaystyle (-11).}
- $\ beta _ {3} = {\ frac {\ beta _ {1} +1} {1+(\ beta _ {1}) (1)}} = 1.$
- Rýchlosť svetla je teda nemenná pri akejkoľvek relatívnej rýchlosti medzi laboratórnym rámom a pohyblivým rámom.
- Uvedomte si, že zotrvačný referenčný rámec pohybujúci sa rýchlosťou svetla nie je definovaný.

Že rýchlosti sú oveľa menšie ako rýchlosť zníženia svetla na známe pridanie rýchlosti — Pokiaľ ide o rozmerové rýchlosti, vzorec znie Z faktora môžeme potvrdiť, že rýchlosti sú oveľa menšie ako rýchlosť zníženia svetla na známe pridanie rýchlosti.

Tipy

Pridanie vzorca rýchlosti má podobnú formu ako hyperbolická tangensová súhrnná identita tanh⁡ (ξ1+ξ2) = ξ1+ξ21+ξ1ξ2. {\ Displaystyle \ tanh (\ xi _ {1}+\ xi _ {2}) = {\ frac {\ xi _ {1}+\ xi _ {2}} {1+ \ xi _ {1} \ xi _ {2}}}.} $\ tanh (\ xi _ {1}+\ xi _ {2}) = {\ frac {\ xi _ {1}+\ xi _ {2}} {1+ \ xi _ {1} \ xi _ {2 }}}.$
- V skutočnosti možno prepísať vzorec v podmienkach hyperbolický uhol $\ xi$ , nazývané rýchlosť, čím sa získa lineárny adičnej vzorec
- $\ tanh ^{{-1}} \ beta _ {3} = \ tanh ^{{-1}} \ beta _ {1}+\ tanh ^{{-1}} \ beta _ {2},$ kde lineárne sčítame rýchlosti $\ xi = \ tanh ^{{-1}} \ beta.$ Zatiaľ čo rýchlosť je „prirodzenejšou“ veličinou, s ktorou je možné pracovať v špeciálnej relativite, je rýchlosť stále jednoduchšie merateľnou veličinou.
- Pretože funkcia $\ tanh (x)$ je ohraničená rozsahom $(-11)$ a asymptoticky sa blíži k $\ pm 1$ ako $X \ do \ pm \ infty$ , pričom hyperbolický tangens oboch strán $\ beta _ {3} = \ tanh (\ tanh ^{{-1}} \ beta _ {1}+\ tanh ^{{-1}} \ beta _ {2})$ ukazuje, že dve subluminálne rýchlosti nikdy nemôžu prekročiť rýchlosť svetla v žiadnom referenčnom rámci.
- When $\ beta = 1, \ xi = \ tanh ^{{-1}} (1) = \ infty.$ Inými slovami, rýchlosť svetlo je nekonečné.