Ako odvodiť Poyntingovu vetu?

Pripomeňme si energiu elektromagnetického poľa. Elektrické aj magnetické polia ukladajú energiu do samotných polí. Táto energia môže byť opísaný pomocou hustotách energie ue = 12ε0E2 {\ displaystyle u_ {e} = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} E ^ {2}} a um = 12μ0B2, {\ displaystyle u_ {m} = {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B^{2},} kde hustota tu označuje energiu na jednotku objemu.

• Celkovú energiu môžeme získať integráciou do celého objemu. Výraz nižšie je súčet práca nutné zostaviť z statického rozloženia náboja proti ich coulombické odpudzovanie, a práce potrebné na vytváranie prúdov proti zadnej emf.
  • Uem = ∫V (ue+um) dV = ∫V (12ϵ0E2+12μ0B2) dV {\ displaystyle U_ {em} = \ int _ {V} (u_ {e}+u_ {m}) \ mathrm {d} V = \ int _ {V} \ vľavo ({\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} E^{2}+{\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B^ {2} \ right) \ mathrm {d} V}
• Aj keď to môže popisovať energiu v poli, energia sa nenachádza na žiadnom konkrétnom mieste. Je skôr distribuovaný do celého integrovaného zväzku.
• Majte na pamäti, že veľké písmená U {\ Displaystyle U } sa používajú na energiu, zatiaľ čo malé písmená u {\ Displaystyle u} označujú hustotu energie. Tento rozdiel bude vidieť pri prevode Poyntingovej vety do diferenciálnej formy v kroku 10.

Začnite silou lorentz. Budeme predpokladať, poplatok a aktuálne nastavenie, ktoré vytvára pole E {\ displaystyle \ mathbf {E}} a B {\ displaystyle \ mathbf {B}} v čase t. {\ Displaystyle t.} Avšak, pretože sme do činenia s elektrodynamiky, náš náboj sa pohne na vzdialenosť dl, {\ Displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {l},} predstavujúci ľubovoľný nekonečne malý smer. Elektromagnetická sila preto bude pracovať na náboji, aj keď majte na pamäti, že magnetické sily nefungujú.

• dW = F⋅dl = q (E+v × B) ⋅vdt = qE⋅vdt {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathrm {d} W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {l} & = q (\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot \ mathbf {v} \ mathrm {d} t \\ & = q \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {v} \ mathrm {d} t \ end {zarovnaný}}}

Vzťahujte predchádzajúcu rovnicu na hustotu náboja a prúdovú hustotu. Vieme, že q = ρV {\ Displaystyle q = \ rho V} a J = ρv, {\ Displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v},}, aby sme mohli prepísať pravú stranu ako je uvedené nižšie.

• dWdt = ∫V (E⋅J) dV {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} W} {\ mathrm {d} t}} = \ int _ {V} (\ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J}) \ mathrm {d} V}

Vyjadrite silu iba z hľadiska polí. Môžeme sa zbaviť J {\ Displaystyle \ mathbf {J}} odvolaním sa na zákon Ampere-Maxwell.

• ∇ × B = μ0J+μ0ϵ0∂E∂tJ = 1μ0 (∇ × B) −ϵ0E⋅∂E∂t {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} \ nabla \ times \ mathbf {B} & = \ mu _ {0 } \ mathbf {J} +\ mu _ {0} \ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \\\ mathbf {J} & = {\ frac { 1} {\ mu _ {0}}} (\ nabla \ times \ mathbf {B})-\ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ čiastočné t}} \ end {zarovnané}}}
• E⋅J = E⋅ [1μ0 (∇ × B) −ϵ0∂E∂t] = 1μ0 (E⋅ (∇ × B)) - ϵ0E⋅∂E∂t {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf { E} \ cdot \ mathbf {J} & = \ mathbf {E} \ cdot \ left [{\ frac {1} {\ mu _ {0}}} (\ nabla \ times \ mathbf {B})-\ epsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ částečné t}} \ right] \\ & = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} (\ mathbf {E} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B}))-\ epsilon _ {0} \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ end {zarovnaný }}}

Pomocou identity vektorového počtu napíšte výraz s výrazom, v ktorom sú obe polia v krížovom súčinu. Táto zdanlivá komplikácia je vyriešená, keď použijeme Faradayov zákon . }}.}

• ∇⋅ (E × B) = B⋅ (∇ × E) −E⋅ (∇ × B) {\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}) = \ mathbf {B} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {E})-\ mathbf {E} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B})}
• E⋅ (∇ × B) =-B⋅∂B∂t − ∇⋅ (E × B) {\ Displaystyle \ mathbf {E} \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B}) =-\ mathbf {B } \ cdot {\ frac {\ částečné \ mathbf {B}} {\ čiastkové t}}-\ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B})}

Zjednodušte výrazy obsahujúce bodový súčin poľa s jeho časovou deriváciou. Extra 0,5 faktor pochádza z uznania pravidla produktu. Potvrďte to odvodením derivátu B⋅B. {\ Displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B}.}

• B⋅∂B∂t = ∂∂t (12B2) {\ displaystyle \ mathbf {B} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} { \ částečné t}} \ vľavo ({\ frac {1} {2}} B^{2} \ vpravo)}
• E⋅∂E∂t = ∂∂t (12E2) {\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} = {\ frac {\ partial} { \ částečné t}} \ vľavo ({\ frac {1} {2}} E^{2} \ vpravo)}

Nahraďte rovnicu v kroku 4. Rovnicu prepíšte z hľadiska sily integráciou pravej strany na objem . V druhom riadku druhého bodu odrážky vyvoláme divergenčnú vetu na konverziu druhého integrálu. na povrchový integrál a pripomenieme si výraz pre celkovú energiu z kroku 1.

• E⋅J = −∂∂t (12ϵ0E2+12μ0B2) −1μ0∇⋅ (E × B) {\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathbf {J} =-{\ frac {\ částečná} {\ čiastočná t }} \ left ({\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} E^{2}+{\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B^{2} \ right)-{\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B})}
• dWdt = −ddt∫V [12ϵ0E2+12μ0B2] dV − 1μ0∫V∇⋅ (E × B) dV = −dUemdt − 1μ0∮S⁡ (E × B) ⋅n^dA {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ mathrm {d} W} {\ mathrm {d} t}} & =-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ left [{\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} E^{2}+{\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B^{2} \ right] \ mathrm { d} V-{\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ int _ {V} \ nabla \ cdot (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}) \ mathrm {d} V \ \ & =-{\ frac {\ mathrm {d} U_ {em}} {\ mathrm {d} t}}-{\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mast _ {S} (\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} \ mathrm {d} A \ end {zarovnaný}}}

Definujte vektor poyntingu. Vyššie uvedená rovnica je zrejme trochu komplikovaná, takže aby sme veci trochu zjednodušili, predstavíme Poyntingov vektor S. {\ Displaystyle \ mathbf {S}.} Tento vektor popisuje energiu prenášanú poľom za jednotku času a na jednotku plochy. - inými slovami, je to hustota toku energie. Jednoduchým príkladom toho, ako funguje, je to, že ukazuje v rovnakom smere ako smer šírenia elektromagnetickej vlny.

• S = E × Bμ0 {\ displaystyle \ mathbf {S} = {\ frac {\ mathbf {E} \ times \ mathbf {B}} {\ mu _ {0}}}}

Nahraďte poyntingový vektor expresiou za zachovanie energie. Nasledujúca rovnica je Poyntingova veta v integrálnej forme. Uvádza sa v ňom, že práca vykonaná na distribúcii náboja elektromagnetickým poľom (ľavá strana) sa rovná poklesu energie uloženej v poli (prvý výraz vpravo) mínus energia, ktorá pretekala povrchom ohraničujúcim objem. V {\ Displaystyle V} (druhý výraz vpravo).

• dWdt = −dUemdt − ∮S⁡S⋅n^dA {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} W} {\ mathrm {d} t}} =-{\ frac {\ mathrm {d} U_ {em }} {\ mathrm {d} t}}-\ mast _ {S} \ mathbf {S} \ cdot {\ hat {\ mathbf {n}}} \ mathrm {d} A}