Ako vypočítať Fibonacciho postupnosť?

Pretože pomer akýchkoľvek dvoch po sebe nasledujúcich čísel vo Fibonacciho postupnosti je veľmi podobný — Vzorec používa zlatý rez (), pretože pomer akýchkoľvek dvoch po sebe nasledujúcich čísel vo Fibonacciho postupnosti je veľmi podobný zlatému rezu.

Fibonacciho postupnosť je vzor čísel generovaných súčtom predchádzajúcich dvoch čísel v sekvencii. Čísla v sekvencii sú často viditeľné v prírode a v umení, predstavujú špirály a zlatý rez. Sekvenciu je možné najľahšie vypočítať nastavením tabuľky; je to však nepraktické, ak hľadáte napríklad 100. člen v poradí, v takom prípade je možné použiť Binetov vzorec.

Metóda 1 z 2: pomocou tabuľky

1
Nastavte tabuľku s dvoma stĺpcami. Počet riadkov bude závisieť od toho, koľko čísel v sekvencii Fibonacci chcete vypočítať.
- Ak napríklad chcete nájsť piate číslo v poradí, vaša tabuľka bude mať päť riadkov.
- Pri použití metódy tabuľky nemôžete nájsť náhodné číslo nižšie v poradí bez toho, aby ste vypočítali všetky čísla pred ním. Ak napríklad chcete nájsť 100. číslo v poradí, musíte najskôr vypočítať 1. až 99. číslo. Preto tabuľková metóda funguje dobre iba pre čísla na začiatku sekvencie.
2
Zadajte postupnosť výrazov do ľavého stĺpca. To znamená, že práve vstupujú sled postupných poradovými číslami, počnúc s "1.".
- Termín sa týka čísla polohy vo Fibonacciho sekvencii.
- Napríklad, ak chcete zistiť piate číslo v poradí, napíšete 1., 2., 3., 4., 5. do ľavého stĺpca. To vám ukáže, aké sú prvé až piate výrazy v poradí.
3
Zadajte 1 do prvého riadka pravého stĺpca. Toto je východiskový bod pre Fibonacciho sekvenciu. Inými slovami, prvý termín v poradí je 1.
- Správny Fibonacciho postupnosť začína vždy 1. Ak začnete s iným číslom, nie ste nájsť správny vzor Fibonacciho postupnosti.
Počet riadkov bude závisieť od toho, koľko čísel v sekvencii Fibonacci chcete vypočítať.
4
Pridajte prvý výraz (1) a 0. Tým získate druhé číslo v poradí.
- Pamätajte si, že ak chcete nájsť akékoľvek dané číslo vo Fibonacciho postupnosti, jednoducho pridajte dve predchádzajúce čísla do poradia.
- Na vytvorenie sekvencie by ste mali myslieť na to, že 0 príde skôr ako 1 (prvý termín), takže 1 + 0 = 1.
5
Pridajte prvý termín (1) a druhý termín (1). Tým získate tretie číslo v poradí.
- 1 + 1 = 2. Tretí termín je 2.
6
Pridajte druhý člen (1) a tretí člen (2), aby ste získali štvrté číslo v poradí.
- 1 + 2 = 3. Štvrtý termín je 3.
7
Pridajte tretí termín (2) a štvrtý termín (3). Získate tak piate číslo v poradí.
- 2 + 3 = 5. Piaty člen je 5.
8

Sčítajte predchádzajúce dve čísla, aby ste našli akékoľvek dané číslo v sekvencii fibonacci. Keď použijete túto metódu, použijete vzorec $F _ {{n}} = f _ {{n-1}}+f _ {{n-2}}$ . Pretože toto nie je uzavretý vzorec, nemôžete ho použiť na výpočet žiadneho výrazu v sekvencii bez výpočtu všetkých predchádzajúcich čísel.

Fibonacciho postupnosť je vzor čísel generovaných súčtom predchádzajúcich dvoch čísel v sekvencii.

Metóda 2 z 2: pomocou Binetovho vzorca a zlatého rezu

1
Nastavenie vzorec xn {\ displaystyle x_ {n}} $x _ {{n}}$ = φn- (1-φ) n5 {\ displaystyle {\ frac {\ phi ^ {n} - (1- \ phi) ^ {n}} {\ sqrt {5}}}} ${\ frac {\ phi ^{{n}}-(1- \ phi) ^{{n}}} {{\ sqrt {5}}}}$ . Vo vzorci xn {\ displaystyle x_ {n}} $X _ {{n}}$ = termín v sekvencii, ktorú sa pokúšate nájsť, n {\ displaystyle n} $N.$ = číslo polohy výrazu v sekvencii a ϕ {\ Displaystyle \ phi} $\ phi$ = zlatý rez.
- Toto je uzavretý vzorec, takže budete môcť vypočítať konkrétny výraz v sekvencii bez výpočtu všetkých predchádzajúcich.
- Tento vzorec je zjednodušený vzorec odvodený z Binetovho Fibonacciho číselného vzorca.
- Vzorec používa zlatý rez ( $\ phi$ ), pretože pomer akýchkoľvek dvoch po sebe nasledujúcich čísel vo Fibonacciho postupnosti je veľmi podobný zlatému rezu.
2
Pripojte číslo pre $n$ do vzorca. N {\ n} displaystyle $N.$ znamená čokoľvek termín hľadáte v poradí.
- Ak napríklad hľadáte piate číslo v poradí, zapojte číslo 5. Váš vzorec bude teraz vyzerať takto: $X _ {{5}}$ = ${\ frac {\ phi ^{{5}}-(1- \ phi) ^{{5}}} {{\ sqrt {5}}}}$ .
3
Nahraďte zlatý rez vzorcom. Na aproximáciu zlatého rezu môžete použiť 1 618034.
- Ak napríklad hľadáte piate číslo v poradí, vzorec bude teraz vyzerať takto: $X _ {{5}}$ = ${\ frac {(1 618034)^{{5}}-(1-1,618034)^{{5}}} {{\ sqrt {5}}}}$ .
4
Dokončite výpočty v zátvorkách. Nezabudnite použiť poradie operácií tak, že najskôr dokončíte $1-1,618034 = -0,618034$ výpočet v zátvorkách: 1−1,618034 = −0,618034 {\ displaystyle 1-1,618034 = -0,618034}.
- V príklade, rovnica sa $X _ {{5}}$ = ${\ frac {(1 618034)^{{5}}-(-0,618034)^{{5}}} {{\ sqrt {5}}}}$ .
5
Vypočítajte exponenty. Vynásobte dve zátvorky v čitateľovi príslušným exponentom.
- V tomto prípade $1,618034^{{5}} = 11,090170$ ; $-0,618034^{{5}} =-0,090169$ . Tak rovnica sa $X _ {{5}} = {\ frac {11,090170-(-0,090169)} {{\ sqrt {5}}}}$ .
Ak sa chcete dozvedieť viac, vrátane toho, ako vypočítať Fibonacciho postupnosť pomocou Binetovho vzorca a zlatého rezu, posuňte sa nadol.
6
Dokončite odčítanie. Pred delením musíte odpočítať dve čísla v čitateľovi.
- V príklade, $11,090170-(-0,090169) = 11,180339$ , takže rovnica sa $X _ {{5}}$ = ${\ frac {11,180339} {{\ sqrt {5}}}}$ .
7
Delené druhou odmocninou z 5. Druhá odmocnina z 5, zaokrúhlená, je 2 236067.
- V príklade problému, ${\ frac {11,180339} {2,236067}} = 5,000002$ .
8
Zaokrúhlite na najbližšie celé číslo. Vaša odpoveď bude desatinná, ale bude veľmi blízko celého čísla. Toto celé číslo predstavuje číslo vo Fibonacciho sekvencii.
- Ak by ste použili úplný zlatý rez a nezaokrúhlili by ste, dostali by ste celé číslo. Je však praktickejšie zaokrúhľovať, čo bude mať za následok desatinnú čiarku.
- V tomto prípade po použití kalkulačky na dokončenie všetkých výpočtov bude vaša odpoveď približne 5 00 0002. Zaokrúhlite na najbližšie celé číslo a vaša odpoveď predstavujúca piate číslo v poradí Fibonacciho je 5.