Ako zjednodušiť radikálne výrazy?

Na zjednodušenie dokonalého štvorca pod radikálom jednoducho odstráňte znak radikálu a napíšte číslo, ktoré je druhou odmocninou perfektného štvorca.

Radikálny výraz je algebraický výraz, ktorý obsahuje odmocninu (alebo kocku alebo koreň vyššieho rádu). Také výrazy môžu často popisovať rovnaké číslo, aj keď sa zdajú byť veľmi odlišné (tj 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Riešením je definovať preferovanú „kanonickú formu“ pre tieto výrazy. Ak dva výrazy, oba v kanonickej forme, stále vyzerajú odlišne, potom sú v skutočnosti nerovnaké. Matematici sa zhodli, že kanonická forma radikálnych výrazov by mala:

Vyhnite sa zlomkom v radikáloch
Nepoužívajte zlomkové exponenty
Vyhnite sa radikálom v menovateľoch
Neznásobujte radikály radikálmi
Pod radikálmi majte iba prázdne výrazy

Praktické využitie je na skúškach s možnosťou výberu z viacerých odpovedí. Keď ste vyriešili problém, ale vaša odpoveď sa netýka žiadnej z viacerých možností, skúste ho zjednodušiť do kanonickej podoby. Pretože autori testov zvyčajne uvádzajú svoje odpovede v kanonickej forme, rovnaká reakcia ako u vás ukáže, ktorá z ich odpovedí sa rovná vašim. Pri skúškach s voľnou odpoveďou pokyny ako „zjednodušiť odpoveď“ alebo „zjednodušiť všetky radikály“ znamenajú, že študent bude tieto kroky používať, kým ich odpoveď nesplní vyššie uvedenú kanonickú formu. Má tiež určité využitie pri riešení rovníc, aj keď s niektorými rovnicami sa dá jednoduchšie zaobchádzať pomocou nekanonickej formy.

Kroky

1

V prípade potreby si prečítajte pravidlá pre manipuláciu s radikálmi a exponentmi (sú rovnaké - korene sú zlomkové mocniny), pretože väčšina z nich je na tento proces potrebná. Prečítajte si tiež pravidlá pre manipuláciu a zjednodušenie výrazov polynómu a racionálneho typu, pretože aj tie budú v celom texte potrebné na zjednodušenie.

Metóda 1 zo 6: dokonalé sily

1
Zjednodušte všetky radikálne výrazy, ktoré sú dokonalými štvorcami. Dokonalý štvorec je súčin ľubovoľného čísla, ktoré sa samo vynásobí, napríklad 81, čo je súčin 9 x 9. Na zjednodušenie dokonalého štvorca pod radikálom jednoducho odstráňte znak radikálu a napíšte číslo, ktoré je štvorcom. koreň dokonalého štvorca.
- Napríklad 121 je perfektný štvorec, pretože 11 x 11 je 121. Preto môžete zjednodušiť sqrt (121) na 11 a odstrániť symbol druhej odmocniny.
- Aby ste si tento proces uľahčili, mali by ste si zapamätať prvých dvanásť dokonalých štvorcov: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
2
Zjednodušte všetky radikálne výrazy, ktoré sú dokonalými kockami. Dokonalá kocka je súčin ľubovoľného čísla, ktoré sa samo vynásobí dvakrát, napríklad 27, čo je súčin 3 x 3 x 3. Na zjednodušenie radikálneho výrazu, keď je dokonalá kocka pod znakom koreňa kocky, jednoducho odstráňte radikál a napíšte číslo, ktoré je koreňom kocky perfektnej kocky.
- Napríklad 343 je perfektná kocka, pretože je súčinom 7 x 7 x 7. Preto je koreň kocky perfektnej kocky 343 jednoducho 7.

Ak chcete zjednodušiť radikálny výraz, zjednodušte všetky dokonalé štvorce alebo kocky, zlomkové exponenty alebo záporné exponenty a skombinujte všetky podobné výrazy, ktoré z toho vyplývajú.

Metóda 2 zo 6: Konvertujte racionálne exponenty na radikály

Alebo dajte prednosť opačnému smeru (niekedy existujú dobré dôvody), ale nemiešajte výrazy ako sqrt (5) + 5^(1,5) v rovnakom výraze. Budeme predpokladať, že sa rozhodnete použiť radikálny zápis a použijete sqrt (n) pre odmocninu z n a cbrt (n) pre kocky.

1
Nájdite zlomkový exponent a preveďte ho na radikálny ekvivalent, konkrétne x^(a/b) = b -tý koreň x^a
- Ak máte zlomok pre index radikála, zbavte sa toho tiež. Napríklad (0,67) koreň 4 = sqrt (4)^3 = 2^3 = 8.
2
Preveďte záporné exponenty na ekvivalentný zlomok, konkrétne x^-y = 1/x^y
- To platí iba pre konštantných, racionálnych exponentov. Ak máte výrazy ako 2^x, nechajte ich na pokoji, aj keď z kontextu problému vyplýva, že x môže byť zlomkové alebo záporné.
3

Skombinujte všetky podobné výrazy a zjednodušte všetky racionálne výrazy, ktoré z toho vyplývajú.

Metóda 3 zo 6: odstráňte frakcie z radikálov

Jednoducho odstráňte znamienko a napíšte číslo — Na zjednodušenie radikálneho výrazu, keď je dokonalá kocka pod znamienkom kocky, jednoducho odstráňte znamienko a napíšte číslo, ktoré je koreňom kocky perfektnej kocky.

Kanonická forma vyžaduje vyjadrenie koreňa zlomku pomocou koreňov celých čísel

1

Preskúmajte výrazy pod každým radikálom, aby ste zistili, či nejaké obsahujú zlomky. Ak áno,...
2
Nahraďte ho ako pomer dvoch radikálov pomocou identity sqrt (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b).
- Nepoužívajte túto identitu, ak je menovateľ záporný alebo je to variabilný výraz, ktorý môže byť záporný. V takom prípade zlomok najskôr zjednodušte.
3

Zjednodušte všetky dokonalé štvorce, ktoré z toho vyplývajú. To znamená, že sqrt (1,25) konvertujte na sqrt (5)/sqrt (4) a potom ho ďalej zjednodušte na sqrt (5)/2.
4

Vykonajte ďalšie užitočné zjednodušenia, ako je zníženie zložených zlomkov, kombinovanie podobných výrazov atď.

Metóda 4 zo 6: kombinujte produkty radikálov

1
Ak máte jeden radikálny výraz vynásobený druhým, skombinujte ich ako jeden radikál pomocou vlastnosti: sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Napríklad nahraďte sqrt (2)*sqrt (6) sqrt (12).
- Vyššie uvedená identita sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab) platí pre nezáporné radikály. Nepoužívajte, ak a a b sú záporné, pretože by ste nepravdivo tvrdili, že sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Ľavá strana -1 podľa definície (alebo nedefinovaná, ak odmietnete potvrdiť komplexné čísla), zatiaľ čo pravá strana je +1. Ak je a a/alebo b záporné, najskôr „opravte“ jeho znamienko pomocou sqrt (-5) = i*sqrt (5). Ak je radicand variabilným výrazom, ktorého znak nie je známy z kontextu a môže byť kladný alebo záporný, nechajte ho zatiaľ na pokoji. Môžete použiť všeobecnejšiu identitu sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), ktorá platí pre všetky reálne čísla a a b, ale zvyčajne to nestojí za pridanú zložitosť zavedenia znakovej funkcie.
- Táto identita platí iba vtedy, ak majú radikály rovnaký index. Obecnejšie radikály, ako napríklad sqrt (5)*cbrt (7), môžete vynásobiť tak, že ich najskôr vyjadríte spoločným indexom. Za týmto účelom dočasne preveďte korene na zlomkové exponenty: sqrt (5) * cbrt (7) = 5^(0,5) * 7^(0,33) = 5^(0,5) * 7^(0, 33) = 125^(0,17) * 49^(0,17). Potom použite súčinové pravidlo a prirovnajte tento výrobok k šiestemu koreňu 6125.

Prečítajte si tiež: Ako vyriešiť jednoduchú lineárnu nerovnosť?

Metóda 5 zo 6: extrahujte štvorcové faktory z radikálov

1
Rozdeľte nedokonalý radikálny výraz na jeho hlavné faktory. Faktory sú čísla, ktoré sa vynásobia, aby vytvorili číslo - napríklad 5 a 4 sú dva faktory čísla 20. Ak chcete rozložiť nedokonalý radikálny výraz, napíšte všetky faktory tohto čísla (alebo toľko, koľko môžete) myslite na to, či je to veľký počet), kým nenájdete taký, ktorý je dokonalým štvorcom.
- Skúste napríklad uviesť všetky faktory čísla 45: 1, 3, 5, 9, 15 a 45. 9 je faktor 45, ktorý je tiež perfektným štvorcom (9 = 3^2). 9 x 5 = 45.
2
Zo znaku radikálov odstráňte všetky násobky, ktoré sú dokonalým štvorcom. 9 je perfektný štvorec, pretože je súčinom 3 x 3. Vezmite 9 zo znaku radikálov a umiestnite pred neho 3, pričom pod znakom radikálu nechajte 5. Ak trojicu „hodíte“ späť pod radikálne znamenie, vynásobí sa sama a znova vytvorí 9, ktorá sa znásobí 5 a znova vytvorí 45. 3 root 5 je iba zjednodušený spôsob, ako povedať root 45.
- To znamená, že sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5).
3
Nájdite v premennej perfektný štvorec. Druhá odmocnina a na druhú mocninu by bola | a |. Ďalej to môžete zjednodušiť na „a“ iba vtedy, ak je známe, že premenná je kladná. Druhá odmocnina sa tretia mocninou sa člení na druhej odmocniny z niekoľkých štvorcových časoch dobu - je to preto, že ste pridať exponentmi Po vynásobení premenné, takže len štvorcové časy len sa rovná na kocky.
- Preto je dokonalý štvorec vo výraze, ktorý kocky predstavujú, na druhú.
4

Vytiahnite všetky premenné, ktoré sú dokonalými štvorcami, zo znaku radikálu. Teraz si kvadrát a vytiahnite ju z radikálnej, aby bolo pravidelné | a | . Zjednodušená forma na kocky je práve | a | koreň a.
5

Skombinujte všetky podobné výrazy a zjednodušte všetky racionálne výrazy, ktoré z toho vyplývajú.

Rozdeľte nedokonalý radikálny výraz na jeho hlavné faktory — Ak potrebujete extrahovať štvorcové faktory, rozdeľte nedokonalý radikálny výraz na jeho hlavné faktory a odstráňte všetky násobky, ktoré sú dokonalým štvorcom, zo znaku radikálov.

Metóda 6 zo 6: racionalizujte menovateľa

1
Kanonická forma vyžaduje, aby menovateľom bolo celé číslo (alebo polynóm, ak obsahuje neurčité), ak je to len trochu možné.
- Ak menovateľ pozostáva z jedného výrazu pod radikálom, napríklad [veci]/sqrt (5), vynásobte čitateľa a menovateľa týmto radikálom, aby ste získali [veci]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = [veci]*sqrt (5)/5.
  - V prípade kocky alebo vyšších koreňov vynásobte príslušnou silou radikálu, aby bol menovateľ racionálny. Ak bol menovateľ cbrt (5), vynásobte čitateľa a menovateľa cbrt (5)^2.
- Ak menovateľ pozostáva zo súčtu alebo rozdielu druhej odmocniny, ako je sqrt (2) + sqrt (6), vynásobte čitateľa a menovateľa jeho konjugátom, rovnaký výraz s opačným operátorom. Teda [veci]/(sqrt (2) + sqrt (6)) = [veci] (sqrt (2) -sqrt (6))/(sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)). Potom pomocou rozdielu identity štvorcov [(a + b) (ab) = a^2-b^2] racionalizujte menovateľ a zjednodušte ho (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
  - To funguje aj pre menovatele, ako je 5 + sqrt (3), pretože každé celé číslo je druhou odmocninou nejakého iného celého čísla. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
  - Funguje to na súčet odmocnin ako sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Ak to zoskupíte ako (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) a vynásobíte to (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), vaša odpoveď nebude racionálna, ale bude mať tvar a+b*sqrt (30), kde a a b sú racionálne. Potom môžete postup zopakovať s konjugátom a+b*sqrt (30) a (a+b*sqrt (30)) (ab*sqrt (30)) je racionálne. V zásade platí, že ak môžete tento trik použiť raz na zníženie počtu radikálnych znakov v menovateli, potom môžete tento trik použiť opakovane na odstránenie všetkých z nich.
  - Platí to dokonca aj pre menovatele obsahujúce vyššie korene, ako je 4. koreň z 3 plus 7. koreň z 9. Stačí vynásobiť čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa. Žiaľ, nie je okamžite jasné, čo je konjugát tohto menovateľa, ani ako ho nájsť. Dobrá kniha o teórii algebraických čísel to pokryje, ale ja nie.
2

Menovateľ je teraz racionalizovaný, ale čitateľ je neporiadok. Teraz máte hore čokoľvek, s čím ste začali, krát menovaný konjugát. Pokračujte a rozšírte tento produkt tak, ako by ste to urobili pre produkt polynómov. Zistite, či sa niečo ruší alebo zjednodušuje, a ak je to možné, skombinujte podobné výrazy.
3

Ak je menovateľ záporné celé číslo, vynásobte čitateľa a menovateľa -1, aby bol kladný.

Tipy

Existujú webové stránky, ktoré môžete vyhľadávať online, ktoré vám zjednodušia radikálne vyjadrenie. Jednoducho zadajte rovnicu pod znak radikálu a po stlačení klávesu Enter sa zobrazí vaša zjednodušená odpoveď.
Na jednoduché problémy mnohé z týchto krokov neplatia. Pri komplikovaných problémoch môže byť potrebné niektoré z nich použiť viackrát. Pri práci nepretržite robte „ľahké“ zjednodušenia a svoju konečnú odpoveď porovnajte s kritériami kanonického formulára v úvode. Ak je vaša odpoveď kanonická, máte hotovo; aj keď to nie je kanonické, jeden z týchto krokov vám povie, čo je ešte potrebné urobiť, aby to tak bolo.
Väčšina odkazov na „preferovanú kanonickú formu“ pre radikálny výraz sa vzťahuje aj na komplexné čísla (i = sqrt (-1)). Aj keď je napísané skôr „i“ než radikálnym znakom, snažíme sa vyhnúť písaniu i v menovateli.
Časti týchto pokynov predpokladajú, že všetky radikály sú odmocniny. Všeobecné zásady sú pre kocky alebo vyššie korene rovnaké, aj keď niektoré z nich (najmä racionalizácia menovateľa) môže byť ťažšie uplatniteľné. Budete sa tiež musieť rozhodnúť, či chcete výrazy ako cbrt (4) alebo cbrt (2)^2 (nepamätám si, akým spôsobom autori učebníc preferujú).
Časti týchto pokynov zneužívajú termín „kanonická forma“, keď v skutočnosti opisujú iba „normálnu formu“. Rozdiel je v tom, že kanonická forma by vyžadovala buď 1+sqrt (2) alebo sqrt (2) +1 a ostatné by označila ako nevhodné; normálna forma predpokladá, že ste, milý čitateľ, dostatočne bystrý na to, aby ste ich rozpoznali ako „očividne rovnaké“ ako čísla, aj keď nie sú typograficky totožné (kde „zrejmé“ znamená používať iba aritmetické vlastnosti (sčítanie je komutatívne), nie algebraické vlastnosti) (sqrt (2) je nezáporný koreň x^2-2)). Dúfame, že čitatelia toto mierne zneužitie terminológie odpustia.
Ak sa vám tieto pokyny zdajú nejednoznačné alebo protirečivé, použite všetky konzistentné a jednoznačné kroky a potom zvoľte akúkoľvek formu, ktorá sa najviac podobá spôsobu, akým sú vo vašom texte použité radikálne výrazy.