Ako napísať exponenciálnu funkciu vzhľadom na rýchlosť a počiatočnú hodnotu?
Ak chcete napísať exponenciálnu funkciu s uvedenou sadzbou a počiatočnou hodnotou, začnite určením počiatočnej hodnoty a úrokovej sadzby. Ak bol napríklad bankový účet otvorený za 750€ s ročnou úrokovou sadzbou 3%, počiatočná hodnota je 1000 a sadzba je 0,03. Potom prepíšte časovú premennú t/h na t/12, pretože peniaze sa každých 12 mesiacov zvyšujú o 3%. Nakoniec vložte hodnoty a napíšte svoju exponenciálnu funkciu ako f (t) = 1000 (1,03) t/12. Ak sa chcete dozvedieť viac, vrátane toho, ako nájsť kontinuálnu rýchlosť rastu z exponenciálnej funkcie, posuňte sa nadol.
Forma exponenciálnej rovnice je f (t) = aekt, kde a je počiatočná hodnota, e je báza, k je rýchlosť spojitého rastu a t je časová premenná.
Exponenciálne funkcie môžu modelovať rýchlosť zmeny mnohých situácií vrátane rastu populácie, rádioaktívneho rozpadu, rastu baktérií, zloženého úroku a mnohých ďalších. Ak poznáte rýchlosť, ktorou funkcia rastie alebo sa rozkladá, a počiatočnú hodnotu skupiny, postupujte podľa týchto krokov a napíšte exponenciálnu rovnicu.
Metóda 1 z 2: použitie sadzby ako základu
- 1Zvážte príklad. Predpokladajme, že bankový účet je založený vkladom 750€ a úroková sadzba je 3% ročne. Nájdite exponenciálnu rovnicu, ktorá modeluje túto funkciu.
- 2Poznať základnú formu. Forma exponenciálnej rovnice je f (t) = P 0 (1+r) t/h, kde P 0 je počiatočná hodnota, t je časová premenná, r je rýchlosť a h je počet potrebný na zaistenie jednotiek z t zodpovedajú sadzbe.
- 3Pripojte počiatočnú hodnotu pre P a sadzbu pre r. Budete mať f (t) = 1000 (1,03) t/h.
- 4Nájdi h. Zamyslite sa nad svojou rovnicou. Peniaze sa každý rok zvýšia o 3%, takže každých 12 mesiacov sa peniaze zvýšia o 3%. Pretože potrebujete dať t v mesiacoch, musíte rozdeliť t o 12, takže h = 12. Vaša rovnica je f (t) = 1000 (1,03) t/12. Ak sú jednotky pre rýchlosť a t prírastky rovnaké, h je vždy 1.
Metóda 2 z 2: použitie „e“ ako základu
- 1Pochopte, čo je e. Keď ako základ použijete hodnotu e, použijete „prírodný základ“. Použitie prírodnej bázy vám umožní vytiahnuť kontinuálne tempo rastu priamo z rovnice.
- 2Zvážte príklad. Predpokladajme, že 500 gramová vzorka izotopu uhlíka má polčas rozpadu 50 rokov (polčas rozpadu je čas, počas ktorého sa materiál rozpadne o 50%).
- 3Poznať základnú formu. Forma exponenciálnej rovnice je f (t) = ae kt, kde a je počiatočná hodnota, e je báza, k je rýchlosť kontinuálneho rastu a t je časová premenná.
- 4Pripojte počiatočnú hodnotu. Jedinou hodnotou, ktorú v rovnici potrebujete, je počiatočná rýchlosť rastu. Pripojte ho teda a získajte f (t) = 500e kt
- 5Nájdite rýchlosť kontinuálneho rastu. Trvalý rast je to, ako rýchlo sa graf v konkrétnom okamihu mení. Viete, že za 50 rokov sa vzorka rozpadne na 250 gramov. To možno považovať za bod v grafe, ktorý môžete zapojiť. Takže t je 50. Pripojte ho, aby ste získali f (50) = 500e 50k. Viete tiež, že f (50) = 250, takže ak nahradíte f (50) na ľavej strane 250, získate exponenciálnu rovnicu 250 = 500e 50k. Teraz, aby sme vyriešili rovnicu, najskôr rozdeľte obe strany 500, aby ste získali: 0,5 = e 50k. Potom vezmite prirodzený logaritmus na oboch stranách, aby ste získali: ln (0,5) = ln (e 50k. Pomocou vlastností logaritmov vyberte exponent z argumentu prirodzeného denníka a vynásobte ho logom. Výsledkom je ln (0,5) = 50k (ln (e)). Pripomeňme, že ln je to isté ako log e a že vlastnosti logaritmov hovoria, že ak sú základ a argument logaritmu rovnaké, hodnota je 1. Preto ln (e) = 1. Rovnica sa teda zjednoduší na ln (0,5) = 50k a ak vydelíte 50, zistíte, že k = (ln (0,5))/50. Pomocou kalkulačky nájdite desatinnú aproximáciu k, ktorá bude približne - 0,01386. Všimnite si, že táto hodnota je záporná. Ak je rýchlosť kontinuálneho rastu záporná, máte exponenciálny rozklad, ak je kladný, máte exponenciálny rast.
- 6Pripojte hodnotu k. Vaša rovnica je 500e - 0,01386t.
Jedinou hodnotou, ktorú v rovnici potrebujete, je počiatočná rýchlosť rastu.
- Možno budete chcieť uložiť svoju hodnotu k do kalkulačky, aby ste mohli hodnoty vypočítať presnejšie ako s desatinnou aproximáciou. X je ľahko dostupná premenná, pretože na to nepotrebujete stlačiť „alfa“, ale ak chcete rovnicu vykresliť grafom, použite premennú označenú ako konštantu, inak zadáte ďalšie premenné.
- Rýchlo sa naučíte, kedy používať jednotlivé metódy. Problémy sú zvyčajne jednoduchšie pomocou prvej metódy, ale existujú situácie, keď viete, že používanie prírodnej základne vám neskôr uľahčí výpočty.
Prečítajte si tiež: Ako zvládnuť suchý ľad?
Otázky a odpovede
- Môžete mi pomôcť vyriešiť tento problém? „Priemerná cena domu P vzrástla zo 74600€ v roku 1990 na 26 1000€ v roku 2010, aby t nebol počet rokov od roku 1990, nájdite rovnicu tvaru P = P0a^t“Viete, že keď t = 0, cena P je 74600€. Takže P0 musí byť 100 000. Teraz použite druhý údajový bod, keď t = 20. 350000 = 100000xa^20 (delené 100000) 3,5 = a^20 (berúc 20. koreň) a = 3,5^(0,50) = 1 0646, čo možno interpretovať ako priemerný nárast o 6,46% za rok.
Nezodpovedané otázky
- Ako zistím tempo rastu v meste?
