Ako odvodiť zákon o biot -savartoch?

Biot-Savartov zákon je vyjadrením magnetického poľa generovaného stabilným elektrickým prúdom.

Zákon Biot-Savartov je výrazom magnetického poľa vytváraného pomocou stabilným elektrickým prúdom. Odvodenie tento zákon zahŕňa počnúc z Maxwellových rovníc, získanie a riešenie Poissonovej rovnice pre všetky tri zložky vektorového potenciálu ${\ mathbf {a}},$ a pri zvlnenie výsledku.

Kroky

1
Začnite definíciou vektorového potenciálu. Gaussova veta magnetizmu nám hovorí, že magnetické polia sú vždy divergencia-free, cez ∇⋅B = 0. {\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0.} $\ nabla \ cdot {\ mathbf {b}} = 0.$ Z vektorového počtu, sme tiež uznať identitu ∇⋅ (∇ × F) = 0, {\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {F}) = 0,} $\ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ mathbf {f}}) = 0,$ pre akékoľvek vektorové pole F. {\ Displaystyle \ mathbf {F}.} ${\ mathbf {f}}.$ Inými slovami, divergencia zvinutia je vždy nulová. Preto môžeme napísať pole bez divergencie z hľadiska zvlnenia iného vektorového poľa, nazývaného vektorový potenciál.
- ${\ mathbf {b}} = \ nabla \ times {\ mathbf {a}}$
Teraz by sme chceli získať Biot-Savartov zákon, zákon, ktorý popisuje magnetostatiku.
2
Prepíšte ampérov zákon z hľadiska potenciálov na získanie Poissonovej rovnice. Pri tom máme určitý stupeň slobody v tom, ako to píšeme. Potenciály nie sú jedinečné a v prípade vektorového potenciálu môžeme ľubovoľne pridať gradient skalárneho poľa bez ovplyvnenia magnetického poľa, pretože zvinutie gradientu je vždy nulové. Hovorí sa tomu transformácia meradla. To znamená, že si môžeme vybrať potenciál, ktorý je pre nás vhodný. Tu zvolíme Coulombov rozchod, kde ∇⋅A = 0. {\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0.} $\ nabla \ cdot {\ mathbf {a}} = 0.$
- ${\ begin {aligned} \ nabla \ times {\ mathbf {b}} = \ mu _ {{0}} {\ mathbf {j}} \\\ nabla \ times (\ nabla \ times {\ mathbf {a} }) = \ mu _ {{0}} {\ mathbf {j}} \ end {zarovnaný}}$
- Identita na zjednodušenie vektorového trojitého produktu je BAC-CAB. V prípade kučier je to ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇⋅A) −∇2A. {\ Displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {A})-\ nabla ^{2} \ mathbf {A}.} $\ nabla \ times (\ nabla \ times {\ mathbf {a}}) = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ mathbf {a}})-\ nabla ^{{2}} {\ mathbf {a}}.$ Teraz si pamätáme, že sme vybrali ∇⋅A = 0. {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} = 0.} $\ nabla \ cdot {\ mathbf {a}} = 0.$
  - $\ nabla ^{{2}} {\ mathbf {a}} =-\ mu _ {{0}} {\ mathbf {j}}$
- Toto je Poissonova rovnica pre vektorový potenciál. Aj keď vyššie uvedený výraz sú vlastne tri rovnice, môžeme vyriešiť všetky tri zložky súčasne, pretože rovnice sú odpojené.
Preto môžeme napísať pole bez divergencie z hľadiska zvlnenia iného vektorového poľa, nazývaného vektorový potenciál.
3
Vyriešte Poissonovu rovnicu. Jeden zo spôsobov, ako to dosiahnuť, je prostredníctvom Fourierových transformácií. Bližšie informácie nájdete v prepojenom článku. Za predpokladu, že ste sa správne transformovali, mali by ste získať nižšie uvedené všeobecné riešenie.
- ${\ mathbf {a}} = {\ frac {\ mu _ {{0}}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {{\ mathbf {j}} ({\ mathbf {x}}^{ {\ prime}})} {| {\ mathbf {x}}-{\ mathbf {x}}^{{\ prime}} |}} {\ mathrm {d}}^{{3}} {\ mathbf {x}}^{{\ prime}}$
- Oznámenie, že je to veľmi podobné vo forme k roztoku pre skalárneho potenciálu, ktorého hustota náboja $\ rho$ spojený s pevnou bodového náboja nám umožňuje znížiť riešenie Coulombovho zákona, zákon, ktorý popisuje elektrostatiky. Teraz by sme chceli získať Biot-Savartov zákon, zákon, ktorý popisuje magnetostatiku.
4
Zahnite sa ${\ mathbf {a}}$ . Tým sa obnoví magnetické pole. Všimnite si toho, že všetky premenné s prvočíslami v nich sú fiktívne premenné, takže zvinutie je vzaté s ohľadom na x, {\ Displaystyle \ mathbf {x},} ${\ mathbf {x}},$ čo nám umožňuje dať operátor del pod integrál.
- $\ nabla \ times {\ mathbf {a}} = {\ frac {\ mu _ {{0}}} {4 \ pi}} \ int \ nabla \ times \ left ({\ frac {{\ mathbf {j} } ({\ mathbf {x}}^{{\ prime}})} {| {\ mathbf {x}}-{\ mathbf {x}}^{{\ prime}} |}} \ vpravo) {\ mathrm {d}}^{{3}} {\ mathbf {x}}^{{\ prime}}$
Odvodenie tohto zákona znamená vychádzať z Maxwellových rovníc, získať a vyriešiť Poissonovu rovnicu pre všetky tri zložky vektorového potenciálu a vziať zvinutie výsledku.
5
Použite pravidlo produktu ∇ × (fv) = ∇f × v +(∇ × v) f {\ displaystyle \ nabla \ times (f \ mathbf {v}) = \ nabla f \ times \ mathbf {v} +(\ nabla \ times \ mathbf {v}) f} $\ nabla \ times (f {\ mathbf {v}}) = \ nabla f \ times {\ mathbf {v}}+(\ nabla \ times {\ mathbf {v}}) f$ na zjednodušenie vyššie uvedeného výrazu. Pretože J (x ′) {\ displaystyle \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^{\ prime})}} ${\ mathbf {j}} ({\ mathbf {x}}^{{\ prime}})$ nezávisí od x, {\ displaystyle \ mathbf {x},}, ${\ mathbf {x}},$ tento výraz zmizne. Pri prechode vezmite na vedomie reťazové pravidlo.
- ${\ begin {aligned} {\ mathbf {b}} ({\ mathbf {x}}) a = \ nabla \ times {\ mathbf {a}} \\ a = {\ frac {\ mu _ {{0} }} {4 \ pi}} \ int \ nabla \ left ({\ frac {1} {| {\ mathbf {x}}-{\ mathbf {x}}^{{\ prime}} |}}} \ right) \ times {\ mathbf {j}} ({\ mathbf {x}}^{{\ prime}}) {\ mathrm {d}}^{{3}} {\ mathbf {x}}^{{\ prime}} \\ a = {\ frac {\ mu _ {{0}}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {-({\ mathbf {x}}-{\ mathbf {x}}^ {{\ prime}})} {| {\ mathbf {x}}-{\ mathbf {x}}^{{\ prime}} |^{{3}}}} \ times {\ mathbf {j}} ({\ mathbf {x}}^{{\ prime}}) {\ mathrm {d}}^{{3}} {\ mathbf {x}}^{{\ prime}} \\ a = {\ frac {\ mu _ {{0}}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {{\ mathbf {j}} ({\ mathbf {x}}^{{\ prime}}) \ times ({\ mathbf {x}}-{\ mathbf {x}}^{{\ prime}})} {| {\ mathbf {x}}-{\ mathbf {x}}^{{\ prime}} |^{{ 3}}}} {\ mathrm {d}}^{{3}} {\ mathbf {x}}^{{\ prime}} \ end {zarovnaný}}$
- Vyššie uvedený výraz je Biot-Savartov zákon. Zohľadňuje hrúbku vodiča, cez ktorý prechádza prúd. Aj keď sa zdá, ako inverzné kocky práva, prítomnosť posunutie vektora ${\ mathbf {x}}-{\ mathbf {x}}^{{\ prime}}$ v čitateli je zabezpečené, že magnetické pole klesá preč ako štvorec vzdialenosti a ukazuje správnym smerom.
- Pre nekonečne úzkom drôtu, môžeme zanedbať hrúbku a nahradiť J (x ') D3x {\ displaystyle \ mathbf {J} (\ mathbf {x} ^ {\ prime}) \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {x} ^{\ prime}} ${\ mathbf {j}} ({\ mathbf {x}}^{{\ prime}}) {\ mathrm {d}}^{{3}} {\ mathbf {x}}^{{\ prime}}$ s Idl {\ displaystyle I \ mathrm {d} \ mathbf {l}} ${{Mathrm {d}} {\ mathbf {l}}$ a previesť integrál na riadkový integrál. Nechať r = X-X '{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {x} - \ mathbf {x} ^ {\ prime}} ${\ mathbf {r}} = {\ mathbf {x}}-{\ mathbf {x}}^{{\ prime}}$ byť posunutie vektora, sme získať známu formu zákona Biot-Savartovým.
  - ${\ mathbf {b}} = {\ frac {\ mu _ {{0}}} {4 \ pi}} \ int {\ frac {i {\ mathrm {d}} {\ mathbf {l}} \ times {\ mathbf {r}}} {| {\ mathbf {r}} |^{{3}}}}$

Prečítajte si tiež: Ako vypočítať pravdepodobnosti kvantových stavov?