Ako rozložiť vektor na komponenty?

Pre vodorovný vektor je zvislá zložka nula a pre zvislý vektor je vodorovná zložka nula.

Vektor je grafické znázornenie určitej fyzickej sily. Mohlo by to predstavovať pohyb, napríklad lietadlo cestujúce severovýchodným smerom rýchlosťou 640 km/h. Mohlo by to tiež predstavovať silu, napríklad guľu, ktorá sa valí zo stola a padá šikmo nadol v dôsledku gravitačnej sily a svojej počiatočnej rýchlosti mimo stôl. Často je užitočné vedieť vypočítať súčasti akéhokoľvek vektora. To znamená, koľko sily (alebo rýchlosti alebo čohokoľvek iného, čo váš vektor meria) pôsobí v horizontálnom smere a koľko vo vertikálnom smere. Môžete to urobiť graficky pomocou jednoduchej geometrie. Na presnejšie výpočty môžete použiť trigonometriu.

Metóda 1 zo 4: identifikácia komponentov grafom

1
Vyberte vhodnú mierku. Na grafovanie vektora a jeho komponentov je potrebné rozhodnúť o mierke grafu. Musíte si vybrať mierku, ktorá je dostatočne veľká na to, aby sa s ňou dalo pracovať pohodlne a presne, ale dostatočne malú, aby sa váš vektor dal kresliť v mierke.
- Predpokladajme napríklad, že začínate s vektorom, ktorý predstavuje rýchlosť 320 km/h v severovýchodnom smere. Ak používate milimetrový papier so 4 štvorcami na palec, môžete zvoliť, aby každý štvorec predstavoval 32,2 km/h. To predstavuje mierku 2,50 cm = 80 mph.
- Umiestnenie vektora vzhľadom na pôvod je irelevantné, takže nie je potrebné kresliť os x a os y. Meriate iba samotný vektor, nie jeho polohu v 2-dimenzionálnom alebo 3-dimenzionálnom priestore. Milimetrový papier je len merací nástroj, takže na mieste nezáleží.
2
Nakreslite vektor v mierke. Je dôležité, aby ste svoj vektor načrtli čo najpresnejšie. Na výkrese musíte znázorniť správny smer aj dĺžku vektora.
- Použite presné pravítko. Napríklad, ak ste si vybrali meradlo jeden štvorec na milimetrový papier predstavujúci 20 mph (32,2 km / h), a každý štvorec je ¹/₄ palca (0,6 cm), potom vektor 200 mph (320 km/h) bude čiara, ktorá bude mať 10 štvorcov alebo 6 centimetrov.
- V prípade potreby pomocou uhlomeru ukážte uhol alebo smer vektora. Ak napríklad vektor ukazuje pohyb v severovýchodnom smere, nakreslite čiaru v 45-stupňovom uhle od horizontály.
- Vektory môžu indikovať mnoho rôznych druhov smerových meraní. Ak diskutujete o cestovaní, môže to znamenať smer na mape. Na znázornenie dráhy odhodeného alebo zasiahnutého predmetu môže vektorový uhol znamenať uhol pohybu od zeme. V jadrovej fyzike môže vektor naznačovať smer elektrónu.
3
Nakreslite pravý trojuholník s vektorom ako prepona. Pomocou pravítka začnite na chvoste vektora a nakreslite vodorovnú čiaru tak širokú, ako je potrebné, aby sa zhodovala s hlavou vektora. V hrote tohto riadku označte šípku, čím naznačíte, že sa jedná aj o vektor komponentov. Potom nakreslite zvislú čiaru od tohto bodu k hlave pôvodného vektora. V tomto mieste označte aj šípku.
- Mali by ste vytvoriť pravý trojuholník pozostávajúci z 3 vektorov. Pôvodný vektor je prepona pravouhlého trojuholníka. Základňa pravouhlého trojuholníka je vodorovný vektor a výška pravouhlého trojuholníka je zvislý vektor.
- Existujú 2 výnimky, keď nemôžete zostrojiť pravouhlý trojuholník. K tomu dôjde, keď je pôvodný vektor presne horizontálny alebo vertikálny. Pre vodorovný vektor je zvislá zložka nula a pre zvislý vektor je vodorovná zložka nula.
Meranie vektorových komponentov grafom môže byť rýchlou a užitočnou metódou na aproximáciu vektorových komponentov.
4
Označte dva komponentné vektory. V závislosti od toho, čo predstavuje váš pôvodný vektor, by ste mali označiť dva zložkové vektory, ktoré ste práve nakreslili. Napríklad pomocou vektora, ktorý predstavuje cestovanie severovýchodným smerom, horizontálny vektor predstavuje „východ“ a vertikálny vektor predstavuje „sever“.
- Ďalšie vzorky komponentov môžu byť „hore/dole“ alebo „vľavo/vpravo“.
5
Zmerajte vektory komponentov. Veličiny svojich 2 -zložkových vektorov môžete určiť buď samotným milimetrovým papierom alebo pravítkom. Ak používate pravítko, zmerajte dĺžku každého z vektorov komponentov a prevádzajte pomocou stupnice, ktorú ste vybrali. Napríklad vodorovná čiara, ktorá je 1¹/₄ palca (3,2 cm) dlhé, s použitím stupnice od 2,50 cm = 80 h., By predstavovalo východnej zložku 100 mph (160 km / h).
- Ak sa rozhodnete spoľahnúť na milimetrový papier a nie na pravítko, možno budete musieť trochu odhadnúť. Ak čiara na grafe prekročí 3 celé štvorce a spadne do stredu 4. štvorca, budete musieť odhadnúť zlomok tohto posledného štvorca a vynásobiť ho mierkou. Ak napríklad 1 štvorec = 32,2 km/h a odhadujete, že zložkový vektor je 3,5 štvorca, potom tento vektor predstavuje 70 míľ/h.
- Zopakujte meranie pre horizontálne aj vertikálne vektorové vektory a označte svoje výsledky.

Metóda 2 zo 4: Výpočet zložiek pomocou trigonometrie

1
Vytvorte hrubý náčrt pôvodného vektora. Ak sa spoliehate na matematické výpočty, váš graf nemusí byť tak úhľadne nakreslený. Nie je potrebné určovať žiadnu meraciu stupnicu. Nakreslite lúč vo všeobecnom smere vášho vektora. Označte svoj načrtnutý vektor svojou veľkosťou a uhlom, ktorý zviera s horizontálou.
- Zoberme si napríklad raketu, ktorá vystreľuje nahor v uhle 60 stupňov pri rýchlosti 1500 metrov za sekundu. Načrtli by ste lúč, ktorý smeruje diagonálne nahor. Označte jeho dĺžku „1500 m/s“ a označte jeho základný uhol „60°“.
- Vyššie uvedený diagram ukazuje vektor sily 5 Newtonov pod uhlom 37° od horizontály.
2
Nakreslite a označte vektory komponentov. Načrtnite horizontálny lúč začínajúci na základni pôvodného vektora a smerujúci rovnakým smerom (vľavo alebo vpravo) ako originál. Toto predstavuje horizontálnu zložku pôvodného vektora. Načrtnite zvislý lúč, ktorý spája hlavu vášho horizontálneho vektora s hlavou vášho pôvodného uhlového vektora. Toto predstavuje vertikálnu zložku pôvodného vektora.
- Horizontálne a vertikálne zložky vektora predstavujú teoretický, matematický spôsob rozdelenia sily na 2 časti. Predstavte si detskú hračku Etch-a-Sketch so samostatnými gombíkmi na kreslenie „vertikálne“ a „horizontálne“. Ak by ste nakreslili čiaru iba pomocou gombíka „Vertikálne“ a potom by ste nasledovali čiaru iba pomocou gombíka „Horizontálne“, skončili by ste na tom istom mieste, ako keby ste otočili obidva gombíky dohromady presne rovnakými rýchlosťami. To ukazuje, ako môže na predmet súčasne pôsobiť horizontálna a vertikálna sila.
Dávajte pozor, aby sa horizontálna zložka 1 vektora zhodovala s horizontálnou zložkou druhého a rovnaká pre zvislé komponenty.
3
Na výpočet zvislej zložky použite funkciu sínus. Pretože zložky vektora vytvárajú pravouhlý trojuholník, môžete použiť goniometrické výpočty na získanie presných meraní komponentov. Použite rovnicu:
- $\ sin \ theta = {\ frac {{\ text {vertical}}} {{\ text {hypotenuse}}}}}$
- V prípade rakety môžete vertikálnu zložku vypočítať nahradením známych hodnôt a následným zjednodušením:
  - $\ sin \ theta = {\ frac {{\ text {vertical}}} {{\ text {hypotenuse}}}}}$
  - $\ sin (60) = {\ frac {{\ text {vertical}}} {1500}}$
  - $1500 \ sin (60) = {\ text {vertical}}$
  - $1500*0,866 = {\ text {vertical}}$
  - $1299$
- Výsledok označte príslušnými jednotkami. V tomto prípade vertikálna zložka predstavuje rýchlosť nahor 1299 metrov (4000 stôp) za sekundu.
- Vyššie uvedený diagram ukazuje alternatívny príklad, ktorý vypočítava zložky sily 5 Newtonov pod uhlom 37 stupňov. Pomocou funkcie sínus sa zvislá sila vypočíta ako 3 newtony.
4
Na výpočet horizontálnej zložky použite funkciu kosínus. Rovnakým spôsobom, akým používate sínus na výpočet vertikálnej zložky, môžete použiť kosínus na nájdenie veľkosti horizontálnej zložky. Použite rovnicu:
- $\ cos \ theta = {\ frac {{\ text {horizontal}}} {{\ text {hypotenuse}}}}}$
- Pomocou podrobností z príkladu rakety nájdite jej horizontálnu súčasť nasledovne:
  - $\ cos \ theta = {\ frac {{\ text {horizontal}}} {{\ text {hypotenuse}}}}}$
  - $\ cos (60) = {\ frac {{\ text {horizontal}}} {1500}}$
  - $1 500 \ cos (60) = {\ text {horizontálny}}$
  - $1500*0,5 = {\ text {horizontálny}}$
  - $750$
- Výsledok označte príslušnými jednotkami. V tomto prípade horizontálna časť predstavuje rýchlosť vpred (alebo vľavo, vpravo, vzad) 750 metrov za sekundu.
- Vyššie uvedený diagram ukazuje alternatívny príklad, ktorý vypočítava zložky sily 5 Newtonov pod uhlom 37 stupňov. Pomocou funkcie kosínus sa horizontálna sila vypočíta ako 4 newtony.

Metóda 3 zo 4: Použitie vektorových komponentov na pridanie vektorov

1
Pochopte, čo znamená „pridávanie“ vektorov. Sčítanie je vo všeobecnosti pomerne jednoduchý koncept, ale pri práci s vektormi nadobúda osobitný význam. Jeden vektor predstavuje pohyb, silu alebo iný fyzický prvok pôsobiaci na predmet. Ak pôsobia súčasne dve alebo viac síl, môžete tieto sily „pridať“ a nájsť výslednú silu pôsobiacu na predmet.
- Predstavte si napríklad golfovú loptičku, ktorá dopadne do vzduchu. Jedna sila pôsobiaca na loptu je sila počiatočného úderu a pozostáva z uhla a veľkosti. Ďalšou silou môže byť vietor, ktorý má svoj vlastný uhol a veľkosť. Sčítanie týchto 2 síl môže popísať výsledný pohyb lopty.
2
Každý vektor rozdeľte na jeho jednotlivé časti. Pred pridaním vektorov musíte určiť komponenty každého z nich. Pomocou jedného z procesov popísaných v tomto článku nájdite horizontálne a vertikálne zložky každej sily.
- Predpokladajme napríklad, že je golfová loptička zasiahnutá v 30-stupňovom uhle nahor rýchlosťou 210 km/h. Pomocou trigonometrie sú teda 2 -zložkové vektory:
  - ${\ text {vertical}} = 130 \ sin (30) = 65 {\ text {mph}}$
  - ${\ text {horizontal}} = 130 \ cos (30) = 112,6 {\ text {mph}}$
- Potom zvážte vektor, ktorý predstavuje silu vetra. Predpokladajme, že vietor fúka loptu nadol pod uhlom 10 stupňov pri rýchlosti 16,1 km/h. (Pre jednoduchosť výpočtu ignorujeme sily vľavo a vpravo). Dve zložky vetra sa dajú vypočítať podobne:
  - ${\ text {vertical}} = 10 \ sin (-10) =-1,74 {\ text {mph}}$
  - ${\ text {horizontal}} = 10 \ cos (-10) = 9,85 {\ text {mph}}$
  - Všimnite si, že používame uhol -10 stupňov, pretože vietor fúka a pôsobí proti sile úderu.
Napríklad pomocou vektora, ktorý predstavuje cestovanie severovýchodným smerom, horizontálny vektor predstavuje „východ“ a vertikálny vektor predstavuje „sever“.
3
Pridajte komponenty. Pretože vektory komponentov sú vždy merané v pravom uhle, môžete ich priamo pridať. Dávajte pozor, aby sa horizontálna zložka 1 vektora zhodovala s horizontálnou zložkou druhého a rovnaká pre zvislé komponenty.
- Pre túto vzorku je výsledný vertikálny vektor súčtom dvoch zložiek:
  - ${\ text {vertical}} = 65+(-1,74) = 63,26$
  - ${\ text {horizontal}} = 112,6+9,85 = 122,45$
- Interpretujte význam týchto výsledkov. Čistá sila pôsobiaca na golfovú loptičku v dôsledku úderu a vetra je ekvivalentom jednej sily so zložkami 101,11 km/h (63,26 mph) horizontálne a 122,45 míľ za hodinu.
4
Pomocou pythagorovej vety nájdite veľkosť výsledného vektora. Nakoniec by ste chceli vedieť čistý účinok golfového švihu a vetra, ktoré pôsobia spoločne na loptu. Ak poznáte tieto dve zložky, môžete ich skombinovať s Pytagorovou vetou a nájsť veľkosť výsledného vektora.
- Pripomeňme, že vektory komponentov predstavujú nohy pravouhlého trojuholníka. Výsledný vektor je prepona tohto pravouhlého trojuholníka. Pomocou Pytagorovej vety, c2 = a2 + b2 {\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}} $C^{2} = a^{2}+b^{2}$ , možno vypočítať nasledujúcim spôsobom:
  - ${\ text {resultant}}^{2} = 63,26^{2}+122,45^{2}$
  - ${\ text {resultant}}^{2} = 18995,83$
  - ${\ text {resultant}} = {\ sqrt {18995,83}}$
  - ${\ text {resultant}} = 137,83$
- Výsledný vektor teda predstavuje jedinú silu na loptu s magnitúdou 221,82 km/h. Všimnite si, že je to o niečo vyššia ako sila počiatočného úderu, pretože vietor tlačí loptičku dopredu súčasne s tým, ako ju tlačí nadol.
5
Pomocou goniometrie nájdite uhol výsledného vektora. Poznať silu výsledného vektora je polovica riešenia. Druhá polovica je nájsť čistý uhol výsledného vektora. V tomto prípade, pretože na golfový švih pôsobí silou nahor a vietor pôsobí smerom nadol, aj keď menšou silou, musíte nájsť výsledný uhol.
- Nakreslite pravý trojuholník a označte súčasti. Vodorovná základňa trojuholníka predstavuje prednú vektorovú zložku 122,45. Vertikálne rameno predstavuje nahor vektorovú zložku 63,26. Prepona predstavuje výsledný vektor s magnitúdou 137,83.
- Na nájdenie uhla si môžete vybrať buď funkciu sínus, so zvislou zložkou, alebo kosínus s horizontálnou zložkou. Výsledok bude rovnaký.
  - $\ sin \ theta = {\ frac {63,26} {137,83}}$
  - $\ sin \ theta = 0,459$
  - $\ theta = \ arcsin (0,459)$
  - $\ theta = 27,32$
- Výsledný vektor teda predstavuje jedinú silu pôsobiacu na loptu v uhle nahor 27,32 stupňa. To dáva zmysel, pretože je o niečo nižší ako uhol hojdačky, o 30 stupňov, v dôsledku sily vetra nadol. Avšak, golfového švihu je oveľa silnejší sila, než vietor v tomto príklade, takže uhol je stále blízko k 30.
6

Zhrňte svoj výsledný vektor. Ak chcete nahlásiť výsledný vektor, zadajte jeho uhol aj veľkosť. V prípade golfových loptičiek má výsledný vektor magnitúdu 221,82 km/h 137,83 mph pod uhlom 27,32 stupňa nad horizontálou.

Aké sú minimálne komponenty, ktoré môžeme použiť na rozdelenie vektora na jeho súčasti?

Metóda 4 zo 4: kontrola vektorov a ich zložiek

1
Pripomeňme si definíciu vektora. Vektor je matematický nástroj, ktorý sa vo fyzike používa na znázornenie spôsobu, akým sily pôsobia na objekt. Vektor údajne predstavuje dva prvky sily, jej smer a veľkosť.
- Pohyb pohybujúceho sa objektu môžete napríklad popísať udaním smeru jeho pohybu a rýchlosti. Môžete povedať, že lietadlo sa pohybuje severozápadným smerom rýchlosťou 800 km/h. Smer je severozápad a jeho veľkosť je 800 km/h.
- Pes držaný na vodítku zažíva vektorovú silu. Vodítko držané majiteľom je určitou mierou sily ťahané šikmo nahor. Uhol uhlopriečky je smer vektora a sila sily je veľkosť.
2
Porozumieť terminológii grafických vektorov. Pri kreslení vektora, buď pomocou presne nakreslenej reprezentácie na milimetrový papier, alebo iba hrubého náčrtu, sa použijú určité geometrické výrazy.
- Vektor je graficky reprezentovaný ${\ text {ray}}$ . Lúč v geometrii je úsečka, ktorá začína v jednom bode a teoreticky pokračuje v určitom smere nekonečne. Lúč sa nakreslí označením bodu, potom úsečky príslušnej dĺžky a vyznačením šípky na opačnom konci úsečky.
- ${\ text {tail}}$ vektora je jeho počiatočný bod. Geometricky je to koncový bod lúča.
- ${\ text {hlava}}$ vektora je pozícia šípky. Rozdiel medzi geometrickým lúčom a vektorom je v tom, že šípka lúča predstavuje teoretický pohyb nekonečnej vzdialenosti v danom smere. Vektor však používa šípku na označenie smeru, ale dĺžka vektora končí na špičke segmentu čiary, aby zmerala jeho veľkosť. Inými slovami, ak načrtnete lúč v geometrii, dĺžka nie je dôležitá. Ak však kreslíte vektor, dĺžka je veľmi dôležitá.
3
Pripomeňme si základnú trigonometriu. Časti vektora sa spoliehajú na trigonometriu pravouhlých trojuholníkov. Každý segment diagonálnej čiary sa môže stať preponou pravouhlého trojuholníka nakreslením vodorovnej čiary z jedného konca a zvislej čiary z druhého konca. Keď sa tieto dva riadky stretnú, definujete pravouhlý trojuholník.
- Referenčný uhol je uhol, ktorý vzniká meraním od horizontálnej základne pravouhlého trojuholníka k prepone.
- Sínus referenčného uhla možno určiť vydelením dĺžky opačnej nohy dĺžkou prepony.
- Kosínus referenčného uhla možno určiť vydelením dĺžky základne trojuholníka (alebo priľahlej nohy) dĺžkou prepony.

Varovania

Meranie vektorových komponentov grafom môže byť rýchlou a užitočnou metódou na aproximáciu vektorových komponentov. Nie je to však veľmi presná metóda, pokiaľ nie ste mimoriadne dobrí v grafoch a meraní. Ak chcete rýchle, okrúhle čísla, malo by to fungovať dobre. Ak chcete presnejšie výsledky, spoľahnite sa na matematiku trigonometrických výpočtov.

Prečítajte si tiež: Ako previesť štvorcový meter na m2 a naopak?

Ako rozložiť vektor na komponenty?

Kroky

Metóda 1 zo 4: identifikácia komponentov grafom

Metóda 2 zo 4: Výpočet zložiek pomocou trigonometrie

Metóda 3 zo 4: Použitie vektorových komponentov na pridanie vektorov

Metóda 4 zo 4: kontrola vektorov a ich zložiek

Varovania

Otázky a odpovede

Prečítajte si tiež: