Ako používať Pytagorovu vetu?
Ak chcete použiť Pytagorovu vetu na trojuholníku s 90-stupňovým uhlom, označte kratšie strany trojuholníka a a b a dlhšiu stranu oproti pravému uhlu označte c. Pokiaľ poznáte dĺžku dvoch strán, pre tretiu stranu môžete vyriešiť vzorec a druhá mocnina plus b na druhú sa rovná c na druhú. Umiestnite svoje známe hodnoty do rovnice a vyriešte neznámu premennú. Potom získajte výsledok druhou odmocninou z oboch strán rovnice. Ak chcete použiť Pythagorovu vetu na nájdenie vzdialenosti medzi 2 bodmi, pokračujte v čítaní článku!
V Pytagorovej vete sa premenné a a b vzťahujú na strany, ktoré sa stretávajú v pravom uhle, zatiaľ čo premenná c sa týka prepony - najdlhšej strany, ktorá je vždy oproti pravému uhlu.
Pytagorova veta opisuje dĺžky strán pravouhlého trojuholníka spôsobom, ktorý je taký elegantný a praktický, že veta je dodnes široko používaná. Veta uvádza, že pre každý pravouhlý trojuholník je súčet druhých mocnín strán strán bez prepony rovný štvorcom prepony. Inými slovami, pre pravouhlý trojuholník s kolmými stranami dĺžky aab a preponou dĺžky c platí a 2 + b 2 = c 2. Pytagorova veta je jedným zo základných pilierov základnej geometrie, ktorý má nespočetné množstvo praktických aplikácií - pomocou vetu, napríklad, je to ľahké nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi na súradnicovej rovine.
Metóda 1 z 2: nájdenie strán pravouhlého trojuholníka
- 1Zaistite, aby bol váš trojuholník pravouhlý. Pytagorova veta je použiteľná iba na pravouhlé trojuholníky, takže skôr ako budete pokračovať, uistite sa, že váš trojuholník zodpovedá definícii pravouhlého trojuholníka. Našťastie existuje iba jeden kvalifikačný faktor - aby bol pravouhlý trojuholník, musí váš trojuholník obsahovať jeden uhol presne 90 stupňov.
- Ako forma vizuálnej skratky sú pravé uhly často označené malým štvorcom, a nie zaoblenou „krivkou“, aby ich bolo možné identifikovať. Túto špeciálnu značku hľadajte v jednom z rohov trojuholníka.
- 2Priraďte premenné a, b, a c k stranám vášho trojuholníka. V Pytagorovej vete sa premenné a a b vzťahujú na strany, ktoré sa stretávajú v pravom uhle, zatiaľ čo premenná c sa týka prepony - najdlhšej strany, ktorá je vždy oproti pravému uhlu. Na začiatku teda priraďte kratšie strany trojuholníka premenné a a b (nezáleží na tom, ktorá strana je označená „a“ alebo „b“), a prepone priraďte premennú c.
- 3Určte, pre ktoré strany (strany) trojuholníka riešite. Pytagorovej vety umožňuje matematici nájsť dĺžku akéhokoľvek jedného zo strán pravouhlého trojuholníka, ako dlho ako oni vedia dĺžok zvyšných dvoch stranách. Určte, ktorá z vašich strán má neznámu dĺžku - a, b a/alebo c. Ak nie je známa dĺžka iba jednej z vašich strán, ste pripravení pokračovať.
- Povedzme napríklad, že vieme, že naša prepona má dĺžku 5 a jedna z ostatných strán má dĺžku 3, ale nie sme si istí, aká je dĺžka tretej strany. V tomto prípade vieme, že riešime dĺžku tretej strany, a pretože poznáme dĺžky ďalších dvoch, sme pripravení vyraziť! K tomuto príkladu problému sa vrátime v nasledujúcich krokoch.
- Ak nie sú známe dĺžky dvoch vašich strán, budete musieť určiť dĺžku jednej strany, aby ste mohli použiť Pytagorovu vetu. Tu vám môžu pomôcť základné funkcie trigonometrie, ak poznáte jeden z pravých uhlov v trojuholníku.
Ako zistím strany pravouhlého trojuholníka, keď mám iba dĺžku prepony? - 4Pripojte svoje dve známe hodnoty do rovnice. Svoje hodnoty dĺžok strán trojuholníka vložte do rovnice a 2 + b 2 = c 2. Nezabudnite, že a a b sú strany bez prepony, zatiaľ čo c je prepona.
- V našom prípade poznáme dĺžku jednej strany a preponu (3 a 5), takže našu rovnicu by sme zapísali ako 3² + b² = 5²
- 5Vypočítajte štvorce. Ak chcete vyriešiť svoju rovnicu, začnite tak, že vezmete štvorec každej zo svojich známych strán. Alternatívne, ak to považujete za jednoduchšie, môžete nechať svoje bočné dĺžky v exponente a potom ich zarovnať neskôr.
- V našom prípade by sme vycentrovali 3 a 5, aby sme dostali 9 a 25. Rovnicu môžeme prepísať ako 9 + b² = 25.
- 6Izolujte svoju neznámu premennú na jednej strane znamienka rovnosti. Ak je to potrebné, použite základné algebraické operácie na získanie neznámej premennej na jednej strane znamienka rovnosti a dvoch štvorcov na druhej strane znamienka rovnosti. Ak riešite preponu, c už bude izolované, takže pre jeho izoláciu nebudete musieť urobiť nič.
- V našom prípade je naša aktuálna rovnica 9 + b² = 25. Aby sme izolovali b², odpočítajme 9 od oboch strán rovnice. Zostáva nám teda b² = 16.
- 7Vezmite druhú odmocninu z oboch strán rovnice. Teraz by vám mala zostať jedna premenná na druhú na rovnici a číslo na druhej strane. Jednoducho vezmite odmocninu z oboch strán, aby ste zistili dĺžku svojej neznámej strany.
- V našom prípade b² = 16, pričom odmocnina oboch strán nám poskytne b = 4. Môžeme teda povedať, že dĺžka neznámej strany nášho trojuholníka je 4.
- 8Pomocou Pythagorovej vety nájdite strany pravouhlých trojuholníkov v reálnom svete. Dôvod, prečo je Pytagorova veta dnes tak široko používaná, je ten, že je použiteľný v mnohých praktických situáciách. Naučte sa rozpoznávať pravouhlé trojuholníky v reálnom živote - v akejkoľvek situácii, keď sa dva rovné objekty alebo čiary stretnú v pravom uhle a tretia čiara alebo predmet sa tiahne diagonálne naprieč z pravého uhla, môžete pomocou Pythagorovej vety nájsť dĺžku jedného z strany, vzhľadom na dĺžku ďalších dvoch.
- Skúsme príklad z reálneho sveta, ktorý je o niečo ťažší. Rebrík je opretý o budovu. Základňa rebríka je 5 metrov od spodnej časti steny. Rebrík dosahuje 20 metrov (65,6 stôp) nad stenou budovy. Ako dlhý je rebrík?
- „5 metrov (16,4 stôp) od spodnej časti steny“ a „20 metrov (65,6 stôp) od steny“ nás zavedie do dĺžok strán nášho trojuholníka. Pretože sa stena a zem (pravdepodobne) stretávajú v pravom uhle a rebrík sa diagonálne opiera o stenu, môžeme toto usporiadanie považovať za pravouhlý trojuholník so stranami dĺžky a = 5 a b = 20. Dĺžka rebríka je prepona, takže c je naša neznáma. Použime Pytagorovu vetu:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- sqrt (425) = c
- c = 20,6. Približná dĺžka rebríka je 20,6 metra (67,6 stôp).
- „5 metrov (16,4 stôp) od spodnej časti steny“ a „20 metrov (65,6 stôp) od steny“ nás zavedie do dĺžok strán nášho trojuholníka. Pretože sa stena a zem (pravdepodobne) stretávajú v pravom uhle a rebrík sa diagonálne opiera o stenu, môžeme toto usporiadanie považovať za pravouhlý trojuholník so stranami dĺžky a = 5 a b = 20. Dĺžka rebríka je prepona, takže c je naša neznáma. Použime Pytagorovu vetu:
- Skúsme príklad z reálneho sveta, ktorý je o niečo ťažší. Rebrík je opretý o budovu. Základňa rebríka je 5 metrov od spodnej časti steny. Rebrík dosahuje 20 metrov (65,6 stôp) nad stenou budovy. Ako dlhý je rebrík?
Ako nájdem strany pravouhlého trojuholníka, keď mám iba dĺžku najdlhšej strany?
Metóda 2 z 2: výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi v rovine xy
- 1Definujte dva body v rovine xy. Pythagorovu vetu možno ľahko použiť na výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi v rovine XY. Všetko, čo potrebujete vedieť, sú súradnice x a y akýchkoľvek dvoch bodov. Obvykle sú tieto súradnice zapísané ako usporiadané páry vo forme (x, y).
- Aby sme zistili vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi, budeme s každým bodom zaobchádzať ako s jedným z rohov pravouhlého trojuholníka, ktoré nemajú pravý uhol. Pritom ľahko zistíte dĺžku strán a a b a potom vypočítate c, preponu, ktorá je vzdialenosťou medzi dvoma bodmi.
- 2Vykreslite svoje dva body do grafu. V typickej rovine XY pre každý bod (x, y) x dáva súradnice na vodorovnej osi a y dáva súradnice na zvislej osi. Vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi môžete nájsť bez zakreslenia do grafu, ale poskytne vám to vizuálnu referenciu, pomocou ktorej sa ubezpečíte, že vaša odpoveď dáva zmysel.
- 3Nájdite dĺžky strán, ktoré nie sú preponami vášho trojuholníka. Pomocou svojich dvoch bodov ako rohov trojuholníka susediaceho s preponou nájdite dĺžky strán a a b trojuholníka. Môžete to urobiť vizuálne na grafe alebo pomocou vzorcov | x 1 - x 2 | pre horizontálnu stranu a | y 1 - y 2 | pre zvislú stranu, kde (x 1, y 1) je váš prvý bod a (x 2, y 2) je váš druhý bod.
- Povedzme, že naše dva body sú (61) a (35). Dĺžka strany horizontálnej strany nášho trojuholníka je:
- | x 1 - x 2 |
- | 3 - 6 |
- | -3 | = 3
- Dĺžka zvislej strany je:
- | y 1 - y 2 |
- | 1 - 5 |
- | -4 | = 4
- Môžeme teda povedať, že v našom pravom trojuholníku je strana a = 3 a strana b = 4.
- Povedzme, že naše dva body sú (61) a (35). Dĺžka strany horizontálnej strany nášho trojuholníka je:
- 4Na vyriešenie prepony použite Pythagorovu vetu. Vzdialenosť medzi vašimi dvoma bodmi je prepona trojuholníka, ktorého dve strany ste práve definovali. Na nájdenie prepony používajte Pythagorovu vetu ako obvykle, pričom a nastavte ako prvú stranu a b ako druhú.
- V našom prípade s použitím bodov (35) a (61) sú naše dĺžky strán 3 a 4, takže preponu by sme našli nasledovne:
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = sqrt (9+16)
- c = sqrt (25)
- c = 5. Vzdialenosť medzi (35) a (61) je 5.
- V našom prípade s použitím bodov (35) a (61) sú naše dĺžky strán 3 a 4, takže preponu by sme našli nasledovne:
- sqrt (x) znamená „druhá odmocnina z x“.
- Ďalšia kontrola - najdlhšia strana bude opačná k najväčšiemu uhlu a najkratšia strana bude oproti najmenšiemu uhlu.
- Prepona je vždy:
- naprieč z pravého uhla (nedotýkajúc sa pravého uhla)
- najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka
- nahradené c v Pythagorovej vete
Ak chcete použiť Pytagorovu vetu na trojuholníku s 90-stupňovým uhlom, označte kratšie strany trojuholníka a a b a dlhšiu stranu oproti pravému uhlu označte c. - Nezabudnite svoju prácu vždy dvakrát skontrolovať. Ak sa vám zdá odpoveď nesprávna, vráťte sa a skúste to znova.
- Je užitočné naučiť sa Pytagorove trojky alebo tri čísla predstavujúce strany pravouhlého trojuholníka, ktoré sa bežne vyskytujú. 3, 4 a 5 je najbežnejšou pytagorskou trojkou. Takto, ak poznáte dve dĺžky strán trojky, nemusíte tráviť čas riešením pre druhú dĺžku.
- Nezabudnite, že prepona je vždy najdlhšia strana.
- Ak trojuholník nie je pravý trojuholník, budete potrebovať viac informácií ako len 2 dĺžky strán
- Diagramy sú kľúčom k správnemu priradeniu hodnôt k a, b a c. Ak pracujete na probléme príbehu, najskôr ho preložte do diagramu.
- Ak máte iba jedno vedľajšie opatrenie, Pythagorova veta vám nepomôže. Skúste namiesto toho použiť trigonometriu (sin, cos, tan) alebo pomery 30-60-90 / 45-45-90.
- Ak máte problém s príbehom, môžete bezpečne predpokladať veci, ako sú stromy, stĺpy, steny,... zvierať so zemou pravý uhol, pokiaľ nie je uvedené inak.
Prečítajte si tiež: Ako porozumieť klasickej mechanike?
Otázky a odpovede
- Ako zistím strany pravouhlého trojuholníka, keď mám iba dĺžku prepony?Stranu nájdete pomocou uhla vo vnútri trojuholníka. Použitie hriechu uhla vám poskytne opačnú stranu delenú preponou alebo cos uhla vám priľahlú stranu delí preponou.
- Ako môžem nájsť rozmer sklonu schodiska?Zmerajte horizontálne a vertikálne vzdialenosti od horného schodiska k dolnému schodisku a vo vzorci použite tieto dve vzdialenosti ako „a“ a „b“.
- Na mriežku nakreslím úsečku pre svoje body, dostanem tú časť. Keď však použijem vzorec vzdialenosti a ako vzdialenosť medzi bodmi A a B dostanem napríklad 5, aké značky začiarknutia počítam na mriežke, ktorá sa rovná 5?„Začiarkavacie značky“ môžete počítať iba na zvislých a vodorovných čiarach, nie na diagonálnych čiarach. Vzorec vzdialenosti vám umožňuje nájsť dĺžku diagonálnej čiary bez toho, aby ste ju museli merať alebo počítať.
- Ako nájdem základňu iba s preponou?Museli by ste vedieť druhú nohu trojuholníka. Vedieť iba preponu nestačí.
- Ako dokážem, že v trojuholníku pravého uhla je štvorec na prepone rovný súčtu druhých mocnín na ostatných dvoch stranách?Existuje niekoľko spôsobov, ako dokázať Pytagorovu vetu (na čo sa pýtate). Jeden dôkaz nájdete na adrese mathisfun.com/geometry/pythagorean-theorem-proof.html.
- Ako nájdem strany pravouhlého trojuholníka, keď mám iba dĺžku najdlhšej strany?Nemôžeš to urobiť. Ak poznáte iba preponu, obe nohy môžu byť ľubovoľnej kombinácie dĺžok. Ak je napríklad prepona 25 centimetrov, nohy môžu mať 8 a 15 centimetrov, 4 a 23 centimetrov, 2 a 25 centimetrov, 5 a 22 centimetrov, 7 a 18 centimetrov alebo neobmedzený počet ďalších kombinácií.
- Aké je technické využitie Pytagorovej vety?Pytagorova veta vám umožňuje nájsť dĺžku jednej strany pravouhlého trojuholníka, keď poznáte dĺžky ďalších dvoch strán.
Nezodpovedané otázky
- Ako zistím, kedy použiť sčítanie a kedy použiť odčítanie v Pytagorovej vete?
Komentáre (7)
- Vďaka tomuto článku som nebol zadržaný rok na strednej škole.
- Veľmi nápomocné, vážim si pomoc.
- Som len v 6. ročníku, ale mám rád geometriu, dobre? Bolo zábavné to vyskúšať.
- Celá vec bola veľmi nápomocná.
- Aj keď ešte nie som na strednej škole, povedal som si, že by som sa mohol pokúsiť naučiť Pytagorovu vetu, a v skutočnosti to pomohlo.
- Pomohlo mi to porozumieť rozmerom môjho televízora pre triedu.
- Smery boli pochopené rýchlejšie, ako som si myslel, že budú.
