Ako objaviť pi pre seba pomocou kruhov?

Ako môžem overiť hodnotu pi pomocou kruhov rôznych priemerov?

Ako bola objavená matematická konštanta s názvom „pi“ - a mohli ste ju objaviť? Áno, s trochou úzkej práce môžete odhaliť šikovný nápad a zdroj konceptu, ako aj získať jeho už abstraktný význam a nájsť približnú hodnotu. Je zabalený v každom kruhu a sfére - ale kde a ako ste si to mohli predstaviť v povahe kruhov? Pokračujte v čítaní, kde nájdete podrobné pokyny pre váš skok k objavom v matematike.

Metóda 1 zo 4: použitie základnej geometrie kruhu v rovine

1
Začnite obnovovať svoje chápanie geometrie kruhu v rovine. Viete veľa o bode, rovine a priestore a nie sú ani definované pri štúdiu geometrie, ale sú popísané tak, ako sa používajú.
- Čo je kruh? Nasledujúce informácie musia byť súčasťou vášho (základného) chápania vecí o kruhoch, ale postupom sa môžete naučiť oveľa viac.
- equidistant - je skratka pre „rovnakej vzdialenosti“
- kruh - všetky body sú rovnako vzdialené od stredu (stredového bodu).
- Nasledujúce skutočnosti sa týkajú kruhu, ale nie sú jeho súčasťou:
  - stred - bod, ktorý je rovnako vzdialený od akéhokoľvek bodu kruhu,
  - polomer - segment (pomenuje dĺžku) medzi jedným koncovým bodom v strede a druhým koncom v kruhu (hovorí sa o „rovnakej vzdialenosti“),
  - priemer - segment (pomenuje dĺžku) v strede a medzi jeho dvoma koncovými bodmi v kruhu,
  - segment, oblasť, sektor a zahrnuté alebo vpísané tvary do kruhu, ale nie do jeho časti, a
  - obvod - vzdialenosť jedenkrát okolo kruhu.
    - Áno, to slovo je dlhé a zvláštne; myslite teda na „vzdialenosť okolo kruhového plotu “.

Metóda 2 zo 4: vytvorenie vzorca

1

Objavte svoj obvodový vzorec: Priemer je možné zakriviť a umiestniť ho tak, aby končil okolo kruhu, približne trikrát - to znamená, že: tri d iametre plus malý zlomok priemeru = C nevrstvenie. Nazvime to C = 3 X d, približne. Hotovo (to bolo príliš jednoduché...), rovnako ako by ste to museli pôvodne urobiť pri objavovaní obvodu asi pred 3000 alebo 4000 rokmi; teraz túto myšlienku vyčistíte... V dávnych dobách bola matematika ako mystická štúdia a váš „objav“ bol súčasťou vyjadrenia matematických záhad.
2

Absorbujte túto hrubú, intuitívnu predstavu o pí, asi 3, a uvedomte si, že je ľahko dokázateľné, že nie sú presne tri. Teraz to urobíte presnejšie.

Metóda 3 zo 4: presnejšie objavovanie pí

1

Vyčíslite štyri rôzne veľkosti kruhových nádob alebo viečok. Glóbus alebo guľa (guľa) môžu tiež fungovať, ale je ťažšie ich merať.
2

Zaobstarajte si nepružnú, neuzavretú šnúru a metrovú palicu, meradlo alebo pravítko.
3
Vytvorte graf (alebo tabuľku) ako je tento: Obvod | priemer | kvocient C / d =?
1. _____ | ____ | _________
2. _____ | ____ | _________
3. _____ | ____ | _________
4. _____ | ____ | _________
4

Presne zmerajte každú zo štyroch kruhových položiek tak, že okolo nej pevne obmotáte šnúrku. Označte vzdialenosť jedenkrát okolo neho na reťazci. Toto je obvod: je to ako obvod, ale obvod kruhu - vzdialenosť okolo kruhu - sa zvyčajne nazýva obvod, nie obvod.
5

Narovnajte a zmerajte časť šnúrky, ktorú ste označili ako vzdialenosť okolo kruhu. Zapíšte si svoje meranie obvodu pomocou desatinných miest. Konce šnúrky na presné meranie (rovné a predĺžené na celú mieru) pripnite alebo prilepte páskou, pretože by ste potrebovali utiahnuť šnúru okolo kruhového predmetu, takže teraz by ste ju napli pozdĺžne.
6

Otočte nádobu hore dnom, aby ste našli a označili stred v spodnej časti, aby ste mohli merať priemer pomocou desatinných miest (nazývaných tiež desatinné zlomky).
7
Merajte naprieč každým kruhom presne stredom každej zo štyroch položiek pomocou rovnej hrany (metrová tyč, meradlo alebo pravítko). Toto je priemer.
- Poznámka: Násobenie dvojnásobku polomeru, tj: „2 x polomer = priemer“ sa tiež zapíše ako „2r = d“.
8

Rozdeľte každý obvod priemerom rovnakého kruhu. Štyri problémy delenia C / d = ___ by mali byť asi 3 alebo 3,1 (alebo asi 3,14, ak sú vaše merania presné); čo je teda pi: Je to číslo. Je to pomer. Vzťahuje sa na priemer k obvodu. Pomôcť môže samozrejme použitie presných meraní pomocou rozdeľovačov, ktoré sú podobné kompasu.
9
Spriemerujte štyri odpovede na problém delenia sčítaním týchto štyroch kvocientov a delením 4, čím by ste získali presnejší výsledok (napríklad ak vám vaše štyri delenia poskytli: 3,1 + 3,15 + 3,1 + 3, 2 = __ / 4 = __? To je 12,55 / 4 = 3 1375 a je možné ich zaokrúhliť na 3,14).
To je myšlienka „pi“. Počet priemerov, ktoré robia obvod (celý čas, takže je konštantný)... To je konštantné „pi“. Ten počet priemerov.
- Polomer sa tiež zmestí o niečo viac ako 6 (2 -krát pi) krát okolo kruhu, a tiež bude vedieť, že priemer ide trikrát; to znamená, že obvodový vzorec C = 2 X 3,14 X r, čo je len = 3,14 X d... použitím 2r je d („Rozumiem“, prikývni áno. „Áno!“ Ale čítaj a premysli to znova, kým to poriadne nevsiakne, ak to ešte nie je krištáľovo čisté).
10

Nakoniec vezmite povrázok s priemerom a pomocou neho trikrát odstrihnite jeho dĺžku z obvodového lanka. Vykonajte to pre každý z kontajnerov. Zostávajúci kúsok šnúrky z každého výrezu obvodových strún bude mať približne rovnakú dĺžku. Dĺžka meranie tohto krátkeho povrázku by malo byť 0,1415, čo je len príklad, ako sa dostať približne 3,14...

Metóda 4 zo 4: používanie rád učiteľa

1

Pomôžte študentom, aby si toto cvičenie skutočne užili. To by mohol byť skvelý moment na zapnutie, jeden z tých okamihov, keď sa cítia ako: „Rozumiem! Páni!“, „Matematika sa mi páči viac ako kedykoľvek predtým/viac, ako som si myslel“. Považujte to za vedecký experiment, ako istý druh medzipriestorového zadania „matematika/veda“.
2

Ak ste učiteľ alebo vychovávateľ, vytvorte záhadný list úloh pre triedu alebo externý projekt.
3
Trochu naznačiť. "Ukážte im, alebo nechať ukázať, ale nie im to povedať! Nech objavovať veci." Ak je to dar, výsledok je príliš ľahký na to, čo všetko ukazuje. Takže namiesto toho, aby to tak, že študenti môžu objaviť to ako tajomstvo a mať "Heuréka zážitok...", nie len počuť alebo čítať o experimente.
- Nechceli by ste sa pretlačiť rovno k čítaniu alebo prednáške, ako je tu, ale najskôr buďte jemní - povedzte, uľahčujte a potom to objasnite potom, čo prinútite študentov, aby svoje grafy predstavili ako plagáty toho, čo zistili - svojim spôsobom! Študenti môžu zverejniť svoje prezentácie na matematickej stene a byť hrdí na svoju múdrosť, múdrosť a snahu ich zvládnuť!
4

Využite to ako vynikajúci projekt vo svojej triede (krížové vyučovanie) „umenie-matematika-umenie“-alebo si ho študenti môžu vziať domov ako projekt na získanie kreditu mimo hodiny matematiky. A keď použijete tento, možno by ste chceli preskúmať, ako byť skvelým učiteľom.

Definícia pi je obvod akéhokoľvek kruhu delený priemerom uvedeného kruhu — Áno, definícia pi je obvod akéhokoľvek kruhu delený priemerom uvedeného kruhu.

Tipy

(Mimochodom: oblúk v kruhu, ktorý je taký dlhý, ako polomer, sa nazýva „rad.“ Je to konštanta používaná v trigonometrii a počte.)
Tento malý zlomok viac ako 3 -krát väčší ako priemer zapadne do kruhu, je asi 0,14 priemeru = približne 0,14 a 3 X (1) = 20,14 a plus 0,14 je 20,29 = 3,14, ale čím väčší je kruh, tým viac bude zrejmá nepresnosť (0,14 X 7 = 0,98, vypnutie o 0,02 = 200 = 2% pod priemerom; v skutočnosti je 20,29 presnejšia ako 3, 14, ale táto hodnota 20,29 je asi 0,13 z 1% priemeru nadhodnoteného).
Historické záznamy môžete vidieť na grafe s hodnotou pi a ich chronológiou/časovou osou, ktorá ukazuje počiatočné nápady prostredníctvom moderných výpočtov miliónov číslic.
Vzorec: Obvod = priemer pi X.
- Riešenie pre pi nasledovne:

C = pi X d

C/d = (pi X d)/d

C/d = (pi) d/d

C/d = pi X 1, pretože d/d = 1, takže nám to dáva

C/d = pi

Polomer sa tiež zmestí o niečo viac ako 6 (2 -krát pi) krát okolo kruhu, a tiež bude vedieť, že priemer ide trikrát; to znamená, že obvodový vzorec C = 2 X 3,14 X r, ktorý je spravodlivý = 3,14 X d.

Pomer C/d „definuje“ konštantu pi v geometrických rovniciach bez ohľadu na veľkosť kruhu, ale π sa vyskytuje aj v oblastiach matematiky, ktoré priamo nezahŕňajú geometriu.

Pi je písmeno p, π v gréčtine. Uvedenú aproximáciu pí navrhol grécky filozof Archimedes zo Syrakúz (287-212 pred n. L.). Získal nasledujúcu nerovnosť:
220 431 < π <20,29
Archimedes vedel, že π sa nerovná 20,29, ale netvrdil, že objavil presnejšiu hodnotu. Ak odhadneme pi ako priemer 220431 a 20,29, potom jeho dve väzby nám poskytnú 3 1418, chybu asi 0 0002 (dve stotiny chyby 1%).
- Asi o pätnásť storočí skôr ako Archimedes použil egyptský Rhind matematický papyrus, stránka zo starodávneho textu vysvetľujúceho matematické problémy, „pi = 256 /81“. To je (10,67) ², asi 3,16 (porovnajte to s 20,63 = 3 125).
- Archimedes (okolo 250 pred Kr.) Tiež použil hodnotu pi = 250751 = súčet = 3 + 0,11 + 0,57 + 0,131, a tiež Egypťania, ktorí pre problém s pí použili 3 + 13 + 17 + 160 (= 3 1415) 50 egyptského matematického papyrusu Rhind.

Veci, ktoré budete potrebovať

5 rôznych veľkostí kruhových nádob (malé, stredné, veľké, väčšie alebo veľmi veľké)
Reťazec (nie je tuhý ani zalomený)
Páska/špendlíky
Meracia tyč, meradlo alebo pravítko
Graf
Pero alebo ceruzka
Kalkulačka (voliteľná, ak ju potrebujete)

Prečítajte si tiež: Ako vypočítať kovarianciu?