Ako nakresliť koreňový lokus systému?
Máte dva skutočné korene s = 0 a s = - 1, pretože charakteristická rovnica je s2 + s = 0.
Systém so spätnou väzbou sa stáva stabilným, keď rovnice popisujúce tento systém majú korene, ktoré sa riadia určitými vzorcami.
V opačnom prípade sa systém stane nestabilným. Príkladom takého nestabilného systému je, keď mikrofóny vytvárajú škrekot. Časť reproduktora odošle spätnú väzbu do mikrofónu a zosilní sa zosilňovačmi. Potom ide do reproduktorov a znova sa napája do mikrofónu a opakuje sa, až kým nenasýti zosilňovače a nevytvára vysoký zvuk.
Spätná väzba niekedy udržuje systém len na hranici nestability a začína spôsobovať osciláciu systému. To by mohlo byť užitočné v elektronike a inde, aby ste dosiahli stabilnú osciláciu; v zariadení, napríklad v hodinách. Ak však rezerva nebola starostlivo vypočítaná, malá zmena by mohla systém devastovať do záhuby. Je to vidieť, keď sa niektoré mosty zrútili kvôli oscilácii a potom do nestability, keď cez ne prešli ľudia alebo autá alebo vlaky. Novo postavený londýnsky most otvorený pre chodcov po celé tisícročia bol blízko tohto úteku v prvý deň jeho uvedenia do prevádzky, ale keďže bol stále pod dôkladným pozorovaním, boli stavitelia odstavení a ku katastrofe nedošlo. Root locus pomáha inžinierom predpovedať špecifikáciu ich systému tak, aby vyhovovali kritériám stability. Aj keď je celá akademická obec plná množstva softvéru na kreslenie „Root Locus“, pre všetkých študentov inžinierstva je fascinujúce poznať koncepčný náčrt tejto metódy.
1. metóda z 2: prípravné zápasy
- 1Vedzte, že najjednoduchší systém má vstup a výstup. Systém je medzi týmito dvoma. vstup ide do systému, potom sa zmení a potom zhasne ako požadovaný výstup. Je zostavený systém na vytvorenie takej požadovanej zmeny výstupu.
- 2Ukážte systém krabicou. Vstup do nej ide ako šípka a výstup z nej ako šípka.
- Čokoľvek, čo systém urobí so vstupom, sa nazýva funkcia systému.
- Pred vykonaním tejto funkcie systém vždy vykoná na svojom vstupe jednu z troch vecí,
- Tento Root Locus sa nazýva 180° Root Locus.
- Tento vstup sa jednoducho zníži. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je menší ako jeden (0 <K <1).
- Jednoducho ho udržujte na rovnakej hodnote. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia sa rovná jednej (K = 1).
- Jednoducho to zväčšite. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je väčší ako jeden (K> 1).
- Pred vykonaním tejto funkcie môže systém urobiť vstup obrátený, obrátený naruby a potom vždy urobí na svojom vstupe jednu z troch vecí,
- Tento Root Locus sa nazýva 0° Root Locus.
- Jednoducho znižuje tento obrátený vstup. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je väčší ako mínus jedna (- 1 <K <0).
- Jednoducho ho udržujte na rovnakej hodnote. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia sa rovná mínus jedna (K = - 1).
- Jednoducho to zvyšuje. V tomto prípade hovoríme, že koeficient zosilnenia je menší ako mínus jedna (K <- 1).
- K sa nazýva zisk systému.
- Systém so spätnou väzbou má cestu z výstupu do vstupu a účasť a zdieľanie niečoho z výstupu do vstupu.
- 3Pamätajte, že systém bez spätnej väzby v inžinierskom zápise je ako ten, ktorý je zobrazený na obrázku.
Vzťah výstupu k vstupu je opísaný ako násobenie vstupu X (s) systémovou funkciou G (s) za vzniku výsledku Y (s). To znamená, že Y (s) = g (s) x (s). - 4Manipulujte s posledným výsledkom, ktorý chcete získať (pozri obrázok vyššie)
- 5Ukážte teda rovnakými formálnymi zápismi aj ďalej. Upozorňujeme, že vo vnútri krížika (X) je znamienko plus (+) pre vstup a znamienko mínus (-) pre spätnú väzbu.
Výstup prichádza a cestou spätnej väzby ide na zmenu vstupu. Pri výstupe Y (y) je zo spätnej väzby sa stáva Y (s) x H (y), (to znamená, že Y (y) H (y)), a stane sa odpočíta od vstupu X (y).
Preto vlastne do systému vstupuje X (s) -Y (s) H (s). X(s) -Y (s) H (s) vstupuje do systému a vynásobí sa systémovou funkciou a vychádza ako (X (s) -Y (s) H (s)) G (s). Preto je výstup Y (y) v skutočnosti
Y (s) = (x (s) -y (s) h (s)) g (s) - 6Manipulujte s posledným výsledkom, ktorý chcete získať (pozri obrázok vyššie)
- 7Upozorňujeme, že pomer y (y) / x (s), nech už je akýkoľvek, sa nazýva prenosová funkcia.
- Funkcia prenosu ako v rovnici 2 je známa ako funkcia prenosu v uzavretej slučke.
- Produkt G (y) H (y) v rovnici 2 je známy ako funkcia prenosu otvorenej slučky.
Výsledkom manipulácie s touto rovnicou je s2 + s + K = 0. - 8Pamätajte, že môžete mať rovnicu, 1 + h (s) g (s) = 0. Táto rovnica sa nazýva Charakteristická rovnica systému.
- 9Pamätaj. Všetky diskutované funkcie, dokonca aj každá z X (s) alebo Y (s) sama, sú komplexné racionálne funkcie komplexnej premennej s.
- 10Pamätajte tiež, že komplexná racionálna funkcia je pomer dvoch komplexných komplexných polynómov. Napríklad H (s ) = n ( s ) / d ( s ).
- 11Porovnajte pomer y (y) / x (s) v dvoch systémoch bez spätnej väzby a so spätnou väzbou, aby ste zistili, aký je účinok spätnej väzby v systéme.
- 12Vykonajte jednoduchý výpočet, aby ste sa presvedčili, že funkciu spätnej väzby je možné do vstupu zhltnúť pred bodom porovnania.
- 13Sledujte jednoduchú spätnú väzbu. Funkcia spätnej väzby je často v spätnoväzbovej slučke jednotka; to znamená H (s) = 1.
- 14Napíšte rovnicu 2, potom ako (pozri obrázok vyššie)
- 15Samostatný zisk K. Je lepšie oddeliť zisk systému ako samostatný blok. Je správne, že teraz tento G (y) nie je rovnaký ako predchádzajúci G (y), pretože jeho zisk K bol z neho odstránený, ale je vhodné preň stále používať rovnakú notáciu, akoby sme mali blok K a blok G (s) od začiatku.
- 16Napíš rovnicu 3 ako (pozri obrázok vyššie)
- 17Upozorňujeme, že menovateľ určuje stabilitu systému. Radi by ste vedeli, kedy sa tento menovateľ stane nulovým alebo sa blíži k nule, keď sa zmení zisk systému, K, keď sa zmení parameter. Mali by ste záujem skontrolovať 1 + KG (s) = 0. Alebo G (s) = - 1 / K. Predpokladajme, že K> 0 a potom symetricky zistiť, čo sa stane, ak K <0. Pre komplexné pochopenie, dokonca aj triviálne mal by sa tiež prediskutovať prípad K = 0.
- 18Vypočítajte veľkosť (modul) a uhol (argument) g (s). Preto si všimnite, že | G (s) | = 1 / K a / G (s) = 180° q; kde q je nepárne celé číslo. Tento symbol / __ zobrazuje uhol komplexnej funkcie.
- 19Pamätajte, že g (y) je racionálna funkcia; to znamená, že sa rovná polynómu delenému polynómom obidvoch v tej istej premennej s. Teda
Charakteristická funkcia pre systém riadenia motora je 1 + K / s (1 + s) = 0. - 20Všimnite si, že vo všeobecnosti nie je ľahké nájsť korene polynómu stupňa väčšieho ako tri alebo štyri a zapísať ho do jeho koreňových faktorov, ako sa to robí v rovnici 5. To je jedna prekážka pri kreslení koreňového zamerania. Zatiaľ sa zatiaľ predpokladá, že takáto faktorizácia je známa. Pre polynóm stupňa n teda máme n komplexných koreňov r i
- 21Začnite od najjednoduchšieho systému. Charakteristická rovnica sa zmení na s + K = 0. Zmena K z 0 hore zmení s z 0 na - ∞ nadol.
- 22Pamätaj. Zo strednej školy ste mali otázky, ako určiť parameter β tak, aby kvadratická rovnica x 2 + x + β = 0 mala dva rovnaké korene; podobné alebo podobné otázky. To bol základný problém s koreňovým lokusom parametrizovaným s β. Vedeli ste, že by ste mali vypočítať diskrimináciu a dať ju rovnú nule, aby ste splnili predpísanú podmienku: Δ = 1 - 4β = 0, a teda β = 1/4.
- 23Vyriešte podobný koreňový lokus pre riadiaci systém, ktorý je tu zobrazený v spätnoväzbovej slučke. Namiesto diskriminačnej sa bude skúmať charakteristická funkcia; to je 1 + K (1 / s (s + 1) = 0. Manipuláciou s touto rovnicou sa končí s 2 + s + K = 0.
- 24Spýtajte sa na otázky týkajúce sa k.
- 25Začnite od k = 0. Máte dva skutočné korene s = 0 a s = - 1, pretože charakteristická rovnica je s 2 + s = 0.
- 26Zvýšte K. Stále máte dva skutočné korene, kým K = 1/4, kde dva korene budú rovnaké; to je s 1 = s 2 = - 1/2.
- 27Zvýšenie K> 1/4. Diskriminačný bude negatívny. Máte dva imaginárne korene, ktoré sú navzájom zložité. Skutočná hodnota oboch koreňov však zostáva rovnaká a rovná sa - 1/2. Zvyšovanie K nemá na to žiadny vplyv; zväčšia sa iba imaginárne časti. Root Locus je nakreslený hrubými čiarami.
- Pre tento kvadratický polynóm existujú dva korene a určite sa spoja v jednom bode na skutočnej línii pre určitú hodnotu parametra K, ktorá činí diskriminačný rovný nule a vytvorí opakovaný koreň.
- Časť skutočnej čiary medzi týmito dvoma koreňmi je súčasťou Root Locus
- Tento bod sa nazýva bod σ alebo bod vetvenia asymptotov koreňového zamerania.
- Až do tejto hodnoty sa systém K tlmí bez prekročenia-nedosiahnutia (pred zastavením sa netrasie).
- Pri K = 1/4 sa systém kriticky tlmí.
- Potom zvýšenie K iba zvyšuje imaginárnu časť vytvorených koreňov konjugátu.
- Vďaka tomu je rozvetvenie koreňového lokusu kolmé na skutočnú líniu.
- Teoreticky sa celý tento riadok tlmí, ale trasie. Zvyšovanie zisku môže v praxi spôsobiť nestabilitu systému. Otrasy môžu byť také trvalé, že spustia nežiaduce frekvencie v systéme, ktoré zase vytrhnú systém nad jeho materiálovú silu. Napríklad malé trhliny zasahujú do katastrofických bodov alebo to vyrieši dynamická únava. Vždy dizajnéri vymyslieť pre prevenciu neobmedzeného nárastu K.
- 28Poznať význam vecí, ktoré sa dejú v zložitej rovine. Ľubovoľný ľubovoľný bod v komplexnej rovine je možné zobraziť pomocou vektora, ktorý má dĺžku a uhol vzhľadom na skutočnú čiaru.
- - r je koreň s + r = 0
- o sa hovorí, že je testovacím bodom na hodnotenie - r.
- Akýkoľvek výber s nad reálnou priamkou sa nazýva vyhodnotenie v reálnom riadku - r.
- 29Upozorňujeme, že komplexná rovina nie je ako skutočná čiara.
- Na skutočnej línii ste uzavretí v intervaloch. Integrál má iba dva konečné body, ktoré sa majú vyhodnotiť.
- V zložitom lietadle sa nemôžete túlať všade. Naproti tomu musíte vybrať oblasť, aby ste obmedzili svoje hodnotenia. Aj to je už príliš. Svoje hodnotenia obmedzujete iba na základe určitej krivky alebo určitých (zvyčajne jednoduchých) ciest.
- 30Vyhodnoťte ľubovoľný testovací bod s 1 vzhľadom na koreň polynómu s + 2 = 0. Je to vektor od špičky s 1 po špičku r.
X (s) -Y (s) H (s) vstupuje do systému a vynásobí sa systémovou funkciou a vychádza ako (X (s) -Y (s) H (s)) G (s). - 31Predpokladajme, že máte určitý počet skutočných koreňov na skutočnej línii. Opýtajte sa, ktorá časť skutočnej čiary padá na koreňový lokus, keď sa zisk k mení od nuly do plus nekonečna.
- Vyberte ľubovoľný bod na skutočnej priamke, ak je počet skutočných koreňov (nuly a póly) na pravej strane tohto koreňa nepárne číslo (1, 3, 5,...), potom je táto časť skutočnej čiary aj na Root Locus.
- V jednoduchom integrátore majú všetky body v zápornej časti reálnej čiary iba jeden koreň na pravej strane. Z tohto dôvodu sú všetky záporné reálne čiary na koreňovom zameraní.
- V kontrolnom systéme motora len tie body reálne osi medzi sa = 0 a s = - 1 majú nepárny počet koreňov na pravej strane. Preto je na koreňovom zameraní iba časť medzi s = 0 a s = - 1.
- 32Pamätajte, že charakteristická funkcia pre všeobecnú spätnoväzbovú slučku bola 1 + g (s) h (s) = 0. Odstráňte zosilnenie K, kdekoľvek je, ako samostatný parameter a charakteristickú rovnicu napíšte ako 1 + K f (s) = 0, kde F (s) je racionálna funkcia; to znamená F (s) = n (s) / d (s). N (s) aj D (s) sú polynómy.
- Korene N (s), teda nuly F (s), sú polynómom stupňa m.
- Korene D (s), to znamená, že póly F (s) sú polynómom stupňa n.
- Charakteristická funkcia pre jednoduchý integrátor je 1 + K / s = 0.
- F (s) = 1 / s.
- Charakteristická funkcia pre systém riadenia motora je 1 + K / s (1 + s) = 0.
- F (s) = 1 / s (1 + s).
- 33Spoznajte správny systém. V správnom systéme m < n. počet núl je striktne menší ako počet pólov. To znamená, že systém sa neotáča späť alebo toleruje nekonečné prechody.
- 34Poznať význam pobočiek. Vetvy sú cesty, ktoré korene charakteristickej funkcie vytvárajú, keď sa hodnota zisku K mení od nuly do nekonečna. Každá hodnota K dáva novú charakteristickú funkciu s rôznymi koreňmi.
- Ak chcete vložiť rôzne hodnoty K do charakteristickej rovnice a vyriešiť polynómy, aby ste získali korene, musíte na načrtnutie riešení použiť počítač alebo grafické metódy, napríklad Root Locus.
Metóda 2 z 2: nakreslite koreňový lokus
- 1Naučte sa základné pravidlo. Root Locus je symetrický vzhľadom na skutočnú os komplexnej roviny.
- 2Naučte sa prvé a najjednoduchšie pravidlo pre kreslenie koreňového lokusu. Počet vetiev koreňového Locusu je rovnaký ako počet koreňov D (s); tj počet pólov F (s).
- Simple Integrator má jeden pól. Má jednu vetvu.
- Systém riadenia motora má dva póly, jeden pri s = 0 a druhý pri s = - 1. Má dve vetvy.
- 3Posunutím sa dozviete druhé najjednoduchšie pravidlo. Keď sa K mení od nuly po nekonečno, vetvy koreňa Locus sa mohli asymptoticky priblížiť k nekonečnu.
- Všetky tieto asymptoty sa pretínajú v bode na skutočnej priamke.
- Priesečník sa nazýva bod σ.
- Vypočítajte bod σ z,
- Pridajte všetky póly a potom od nich odčítajte výsledok sčítania všetkých núl. Výsledok teraz vydelíme rozdielom počtu pólov a počtu núl.
- Sigma bod pre Simple Integrator je σ = 0
- Sigma bod pre riadenie motora je σ = (0 - 1) / 2 = - 1/2
- Nezamieňajte asymptoty s konármi. Asymptoty vynášajú vetvy do nekonečna.
- Pamätajte, že priame vetvy sú ich vlastné asymptoty, ak sa dostanú do nekonečna.
- 4Zistite, čo je nula v nekonečne. Vo všetkých prípadoch, keď m < n hodnota s → ∞ robí F (s) → 0. Tomu sa hovorí nula v nekonečne.
- 5Interpretujte z rovnice 7, že s ňou môžete manipulovať, aby mala f (s) = - 1 / K. To znamená, že K = 0 robí F (s) = ∞. Ale viete, že F (s) sa stáva nekonečnom na svojich vlastných póloch. Preto vetvy koreňového Locusu vždy začínajú od pólov, kde súčasne je K nula.
- Jednoducho urobte záver, že vždy existuje n vetiev stúpajúcich (pochádzajúcich) z n pólov F (s).
- 6Spýtajte sa sami seba, kde pobočky pristávajú (končia)? m konárov končí na m nulách. Zvyšné n - m vetvy idú do nekonečna, ktoré sa považuje za nuly v nekonečne.
Charakteristická funkcia pre jednoduchý integrátor je 1 + K / s = 0. - 7Oceníte tretie pravidlo. Tretie pravidlo určuje uhly asymptot, ktoré vedú vetvy koreňového zamerania. Rovná sa 180° / (n - m).
- Pomocou symetrie nakreslite všetky asymptoty.
- 8Naučte sa, ako sa vetva vzďaľuje od stĺpa. Toto sa nazýva uhol odchodu vetvy od pólu. Použite tento vzťah. Poďme študovať, čo je každý faktor,
- J: je index skúmaného pólu. Chcete vypočítať odchodový uhol konkrétneho pólu.
- φ J: je uhol odchode z poľa J.
- p J: je komplexná hodnota skúmaného pólu.
- i: pohybuje sa medzi počtom núl od prvej nuly (i = 1) do m- tej nuly (i = m).
- p J - z i: je hodnotenie p J pri z i.
- k: potuluje sa medzi počtom pólov od prvého pólu (k = 1) po n- tý pól (k = n).
- k = J bol zjavne zakázaný zúčastniť sa. Ale aj keď to nemá žiadny význam; to má za následok p J - p J = 0; s nulovou účasťou.
- p J - p k: je hodnotenie p J pri p k.
- arg: ukazuje, že vypočítavate najmenší uhol vektora v zátvorkách [...] vzhľadom na skutočnú os.
- q: je nepárne celé číslo. Väčšinou stačí iba q = 1.
- 9Pochopte význam predchádzajúcej rovnice. Radi by ste poznali uhol odchodu z určitého pólu,
- určiť uhol každej nuly vyhodnotenej týmto pólom; spojte ich.
- Určte uhol každého pólu vyhodnoteného týmto pólom; spojte ich.
- Odčítajte tieto dva od seba.
- Pridajte k výsledku 180° (niekedy musíte pridať - 180° alebo dokonca 540° alebo - 540°).
- 10Dozviete sa, ako sa pobočka posúva k nule. Toto sa nazýva uhol príchodu vetvy do nuly. Použite tento vzťah na jeho výpočet. Poďme študovať, čo je každý faktor,
- J: je index vyšetrovanej nuly. Chcete vypočítať uhol príchodu konkrétnej nuly.
- ɸ J: je uhol dopadu do nulovej J.
- z J: je komplexná hodnota vyšetrovanej nuly.
- k: túla sa medzi počtom pólov od prvého pólu (k = 1) po n- tý pól (k = n).
- z J - p k: je hodnotenie z J pri p k.
- i: pohybuje sa medzi počtom núl od prvej nuly (i = 1) do m- tej nuly (i = m).
- i = J bol zjavne zakázaný zúčastniť sa. Ale aj keď to nemá žiadny význam; vyplýva z J - z J = 0; s nulovou účasťou.
- z J - z i: je hodnotenie z J at z i.
- arg: ukazuje, že vypočítavate najmenší uhol vektora v zátvorkách [...] vzhľadom na skutočnú os.
- q: je nepárne celé číslo. Väčšinou stačí iba q = 180°.
- 11Pochopte význam predchádzajúcej rovnice. Radi by ste poznali uhol príchodu na určitú nulu,
- určiť uhol každého pólu vyhodnoteného touto nulou; spojte ich.
- Určte uhol každej nuly hodnotenej touto nulou; spojte ich.
- Odčítajte tieto dva od seba.
- Pridajte k výsledku 180° (niekedy musíte pridať - 180° alebo dokonca 540° alebo - 540°).
- 12Dozviete sa o osirelých pobočkách. Vetvy opúšťajúce póly bez toho, aby dosiahli nulu, sa budú blížiť k nekonečnu po stranách asymptotových strážcov.
- 13Oslávte, že ste teraz pri tom. Zostáva niekoľko prešpekulovaných bodov, aby bola skica realistickejšia. Vykonajú sa vyhodnotením testovacieho bodu alebo pomocou základnej kalkulačky (preč sú časy, keď ste museli používať bolestivé pravidlá kĺzania). Najlepšie vyhľadateľné body a najviac znepokojujúce sú tiež body kríženia Locusu na imaginárnych osiach. Toto sú body, vďaka ktorým je systém oscilačný a potom do pravej polovice komplexnej roviny stáva systém nestlmujúcim a nestabilným.
Prečítajte si tiež: Ako sa zúčastniť stretnutia IEP?
