Ako nájsť priemernú mieru zmeny?
Priemerná rýchlosť zmeny je funkcia, ktorá predstavuje priemernú rýchlosť, ktorou sa jedna vec mení vzhľadom na niečo iné, čo sa mení.
Priemerná rýchlosť zmeny je funkcia, ktorá predstavuje priemernú rýchlosť, ktorou sa jedna vec mení vzhľadom na niečo iné, čo sa mení. V matematike sa označuje A (x). Rovnaký koncept môžete použiť aj na meranie zmeny matematickej funkcie. Môžete tiež zmerať priemerné rýchlosti zmien rôznych fyzických vlastností. Priemerná rýchlosť zmeny polohy objektu je to, čo jednoducho nazývame rýchlosť. Môžete tiež zmerať priemerné miery rastu živých rastlín alebo zvierat.
Metóda 1 z 3: Výpočet priemernej rýchlosti
- 1Poznáte vzorec na výpočet priemernej rýchlosti. Predpokladajme, že chcete poznať priemernú rýchlosť cesty, ale nemáte rýchlomer. Rýchlosť je možné vypočítať pomocou niektorých základných meraní a výpočtov. Priemerná rýchlosť akéhokoľvek objektu sa zistí vydelením zmeny polohy zmenou času. Matematicky sa to dá napísať takto:
- speed = ΔxΔt {\ displaystyle {\ text {speed}} = {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}}}
- V tejto funkcii Δx {\ Displaystyle \ Delta x} predstavuje zmenu polohy alebo prejdenú vzdialenosť. Menovateľ Δt {\ Displaystyle \ Delta t} predstavuje zmenu v čase.
- 2Určite východiskovú pozíciu. Priemerná rýchlosť objektu je výpočet jeho zmeny polohy alebo polohy za zvolené časové obdobie. Na začiatku preto musíte vybrať počiatočnú pozíciu pre svoje meranie.
- Ak napríklad chcete zmerať priemernú rýchlosť chôdze z domu do školy v meste, východiskovou pozíciou je váš dom.
- „Počiatočná“ pozícia nemusí byť skutočným štartom. Môžete sa napríklad rozhodnúť merať priemernú rýchlosť závodného auta v modeli Indy 500. Ako „počiatočný“ bod merania môžete vybrať ľubovoľný bod na trati.
- 3Zmerajte vzdialenosť ku koncovému bodu. Môžete vypočítať priemernú rýchlosť na ľubovoľnú vzdialenosť a dobu, po ktorú budete vyberať. Jediným obmedzujúcim faktorom je kvalita alebo presnosť vášho meracieho prístroja. Napríklad meranie rýchlosti šprintéra vyžaduje presnosť do niekoľkých centimetrov, zatiaľ čo meranie rýchlosti závodného auta musí byť presné do niekoľkých stôp alebo metrov.
- Ak chcete zmerať rýchlosť chôdze z domu do školy, vzdialenosť môžete nájsť buď tak, že sa pozriete na miestnu mapu, alebo prejdete trasu pomocou počítadla kilometrov auta. V tomto prípade predpokladajme, že vzdialenosť je 0,6 míle.
- Pre závodné auto Indy 500 je jedno kolo pretekárskej dráhy Indianapolis Speedway 2,5 míle. Skontrolujte preto polohu auta v ktoromkoľvek mieste na trati. Keď auto opäť prejde tým istým bodom, jeho vzdialenosť bude 2,5 míle.
- 4Zmerajte uplynulý čas. Priemerná rýchlosť vyžaduje, aby ste zmerali čas, ktorý uplynul. Rovnako ako pri meraniach vzdialenosti to môže vyžadovať menšiu presnosť v závislosti od samotnej rýchlosti. Potrebujete napríklad stopky, ktoré merajú desatiny alebo stotiny sekundy na meranie rýchlosti šprintérov svetovej triedy, ale bežné hodinky z druhej ruky dokážu zmerať rýchlosť závodného auta okolo trate.
- Na prechádzku do školy môžete na meranie času pravdepodobne použiť náramkové hodinky. Predpokladajme v tomto prípade, že cesta do školy trvá pätnásť minút.
- Pri sledovaní závodného auta po dráhe Indianapolis Speedway môžete každé kolo časovať pomocou hodiniek alebo stopiek. Rýchle auto trvá jedno kolo asi 45 sekúnd.
- 5Vypočítajte priemernú rýchlosť. Potom, čo vykonáte potrebné merania, ich jednoducho umiestnite do vzorca na výpočet rýchlosti, aby ste našli rýchlosť objektu. Dávajte pozor na jednotky, ktoré používate na výpočet.
- Pri pešej ceste do školy bola vzdialenosť nameraná 0,6 míle a čas pätnásť minút. Tieto informácie umiestnite do vzorca takto:
- rýchlosť = ΔxΔt = 0,615 = 0,4 {\ displaystyle {\ text {speed}} = {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} = {\ frac {0,6} {15}} = 0, 4} míľ/minútu.
- Indy pretekárske auto cestoval 2,5 míľ za 45 sekúnd. Tieto údaje vstupujú do vzorca pre výpočet rýchlosti nasledovne:
- speed = ΔxΔt = 2,545 = 0,0556 {\ displaystyle {\ text {speed}} = {\ frac {\ Delta x} {\ Delta t}} = {\ frac {2,5} {45}} = 0, 0556} míľ/sekundu.
- Pri pešej ceste do školy bola vzdialenosť nameraná 0,6 míle a čas pätnásť minút. Tieto informácie umiestnite do vzorca takto:
- 6Premeňte jednotky podľa potreby. Niekedy konečný výpočet nemusí byť v jednotkách, ktoré sú pre vás najužitočnejšie. Ak potrebujete alebo chcete nahlásiť rýchlosť v rôznych jednotkách, budete musieť vynásobiť nejaký konverzný faktor.
- Napríklad rýchlosť závodného auta sa spravidla meria v míľach za hodinu, nie v míľach za sekundu. Pretože sa jedna hodina rovná 3600 sekundám, vypočítanú rýchlosť môžete previesť vynásobením 3600 sekúnd za hodinu.
- 0,0556 míľ za sekundu ∗ 3600 sekúnd za hodinu = 200,16 míle za hodinu {\ Displaystyle 0,0556 {\ text {míle za sekundu}}*3600 {\ text {sekundy za hodinu}} = 200,16 {\ napíšte {míle za hodinu}}} .
Priemerná rýchlosť zmeny polohy objektu je to, čo jednoducho nazývame rýchlosť.
Metóda 2 z 3: zistenie priemernej rýchlosti rastu
- 1Pochopte vzorec na meranie priemerných mier rastu. Pri veciach, ktoré rastú, či už vo výške alebo v hmotnosti, môžete zmerať rýchlosť rastu tak, že nájdete zmenu v akejkoľvek kvalite, ktorú chcete merať, vydelenú časom. Tento vzorec je možné matematicky vyjadriť ako:
- rate = ΔhΔt {\ displaystyle {\ text {rate}} = {\ frac {\ Delta h} {\ Delta t}}} alebo ΔwΔt {\ displaystyle {\ frac {\ Delta w} {\ Delta t}}}
- V týchto dvoch príkladoch h {\ Displaystyle h} predstavuje výšku a w {\ Displaystyle w} predstavuje hmotnosť. V obidvoch z nich je t {\ displaystyle t} uplynutý čas.
- 2Rozhodnite sa, ako dlho chcete merať rast. Niektoré rastliny, ako napríklad ázijský bambus, rastú veľmi rýchlo, pričom viditeľné rozdiely nastávajú do niekoľkých hodín. Na meranie niečoho, ako je rýchlosť rastu dieťaťa, nemusia zmeny nastať mesiace alebo rok alebo dlhšie. Musíte vybrať časové obdobie, ktoré je relevantné pre to, čo meriate.
- Predpokladajme, že semená fazule zasadia do základnej triedy a začnú merať ich rast, akonáhle sa objaví prvý výhonok. Primerané časové meranie môže byť asi mesiac, merané v dňoch.
- Vedci, ktorí vychovávali osirelé slonie mláďa, chceli zmerať rýchlosť jeho rastu počas prvých 90 dní jeho života.
- 3Vypočítajte počiatočnú veľkosť. Meranie tempa rastu vyžaduje, aby ste nastavili nejaký východiskový bod a zmerali v tom čase veľkosť.
- Ako príklad rastlín fazule študentov zvolili východiskový deň deň, keď sa objavil prvý výhonok. Výška v bode je stanovená na 0 cm.
- Veterinári veterinárnemu lekárovi zmerali hmotnosť slona v deň narodenia. Jeho pôvodná hmotnosť v ten deň bola 91 kg.
- 4Zmerajte koncovú výšku alebo hmotnosť. Po uplynutí času na štúdium zmerajte výšku alebo hmotnosť predmetu, ktorého rast študujete.
- V prípade rastlín fazule bola priemerná výška rastlín študentov 30. deň vysoká 61 centimetrov. Pretože rastliny začali vo výške 0, množstvo rastu bolo 61 centimetrov.
- Po 90 -dňovom štúdiu slona veterinári namerali jeho hmotnosti 181 kg.
- 5Na výšku alebo hmotnosť použite vzorec rýchlosti rastu. Zadajte údaje, ktoré ste namerali, do vzorca a vykonajte výpočty, aby ste zistili mieru rastu.
- V prípade fazule študentov bude výpočet vyzerať takto:
- sadzba = 61 cm frac {\ text {palce}} {\ text {deň}}}}
- Pre rýchlosť rastu slona musíte ako súčasť výpočtu vypočítať množstvo zmeny hmotnosti v čitateľovi:
- sadzba = 400-91 kg
- sadzba = 91 kg
- kurz = 2,22 libry za deň {\ displaystyle {\ text {rate}} = 2,22 {\ frac {\ text {libry}} {\ text {deň}}}}
- V prípade fazule študentov bude výpočet vyzerať takto:
Priemernú rýchlosť akéhokoľvek objektu zistíme vydelením zmeny polohy zmenou času.
Metóda 3 z 3: výpočet rýchlosti zmeny funkcie
- 1Poznáte svoju funkciu. V matematike je funkcia matematický vzťah medzi číslami, takže zadáte jedno číslo a výsledkom je ďalšie číslo. Funkcie je spravidla možné graficky znázorniť. Môžu predstavovať rovné čiary, paraboly alebo náhodne vyzerajúce krivky, ktoré nie je ľahké definovať.
- Niektoré ukážkové funkcie sú:
- y (x) = 3x+4 {\ displaystyle y (x) = 3x+4} (funkcia priamky)
- y (X) = sin (x) {\ Displaystyle y (x) = sin (x)} (funkcia pre vlnitú čiaru)
- y (x) = x2 {\ displaystyle y (x) = x^{2}} (funkcia pre parabolu)
- Niektoré ukážkové funkcie sú:
- 2Vyberte hodnoty x. Nájdenie priemernej rýchlosti zmeny funkcie znamená zmeranie hodnoty funkcie v dvoch rôznych bodoch pozdĺž osi x. Vyberte jednu hodnotu x, na ktorej chcete začať s meraním, a potom určte, ako ďaleko pozdĺž osi chcete postupovať.
- V závislosti od vašich účelov si môžete zvoliť širší alebo užší rozsah hodnôt x na meranie. Pre toto cvičenie vyberte prvú hodnotu x na 0 a druhú hodnotu x na 3.
- 3Vypočítajte hodnoty funkcie. Rýchlosť zmeny funkcie meria, ako veľmi sa hodnoty y menia nad zvolenou horizontálnou vzdialenosťou x. Na výpočet tejto zmeny potrebujete poznať hodnoty y pri každej zvolenej hodnote x.
- U vzorky funkcie y (x) = x 2 {\ displaystyle y (x) = x ^ {2}} vyberte dve hodnoty x = 0 a x = 3, napríklad. Zodpovedajúce hodnoty y (x) {\ displaystyle y (x)} , a preto sú:
- y (0) = 02 = 0 {\ displaystyle y (0) = 0^{2} = 0}
- y (3) = 32 = 9 {\ Displaystyle y (3) = 3^{2} = 9}
- U vzorky funkcie y (x) = x 2 {\ displaystyle y (x) = x ^ {2}} vyberte dve hodnoty x = 0 a x = 3, napríklad. Zodpovedajúce hodnoty y (x) {\ displaystyle y (x)} , a preto sú:
- 4Vypočítajte priemernú rýchlosť zmeny funkcie. Rýchlosť zmeny funkcie je možné formálne zapísať ako:
- A (x) = ΔyΔx = f (x+h) −f (x) h {\ Displaystyle A (x) = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {f (x+ h) -f (x)} {h}}}
- V tomto vzorci f (x) {\ displaystyle f (x)} predstavuje hodnotu funkcie pri prvej zvolenej hodnote x. F (x+h) {\ Displaystyle f (x+h)} je hodnota funkcie v určitej vzdialenosti pri druhej hodnote x. Menovateľ h {\ displaystyle h} je vzdialenosť medzi dvoma meraniami.
- h {\ Displaystyle h} môže byť tiež reprezentovaný ako Δx {\ Displaystyle \ Delta x} , pretože je to vzdialenosť alebo zmena vo vybraných hodnotách x.
- Pre zvolenú funkciu y (x) = x2 {\ Displaystyle y (x) = x^{2}} môžete vypočítať priemernú rýchlosť zmeny od 0 do 3 takto:
- A (x) = ΔyΔx = 9−03−0 = 3 {\ Displaystyle A (x) = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {9-0} {3-0} } = 3} .
- 5Interpretujte výsledok. Pri tejto funkcii je rýchlosť zmeny mierou toho, ako veľmi sa hodnota funkcie zmení vertikálne pri horizontálnom pohybe pozdĺž osi x. V tomto prípade je parabola y (x) = x 2 {\ displaystyle y (x) = x ^ {2}} začína v bode (00) a výstupy k bodu (39) v priebehu meraného intervalu. Aj keď samotná funkcia nie je priamkou, priemerná rýchlosť zmeny sa meria ako sklon priamky spájajúcej tieto dva body. Táto čiara stúpa o 3 jednotky za každé zvýšenie jednej jednotky v x.
- Priemerná rýchlosť zmeny funkcie sa môže líšiť v závislosti od polohy, ktorú sa rozhodnete merať. V prípade paraboly je priemerná rýchlosť zmeny 3 z x = 0 na x = 3. Avšak pre rovnakú funkciu meranú od x = 3 do x = 6, tiež vzdialenosť 3 jednotiek, priemerná rýchlosť zmeny bude 8,33.
Priemerná rýchlosť zmeny funkcie sa môže líšiť v závislosti od polohy, ktorú sa rozhodnete merať.
- Pri výpočte rýchlosti zmeny je dôležité dávať pozor na jednotky merania.
- V počte sa naučíte nájsť deriváciu funkcie, aby ste zistili okamžitú rýchlosť zmeny. Namiesto toho, aby bol priemer priemerom v rozsahu x hodnôt alebo počas určitého merateľného časového obdobia, umožňuje vám nájsť rýchlosť zmeny v jednom okamihu. Inými slovami, rozsah hodnôt x sa teoreticky rovná nule. Viac informácií nájdete v téme Prevzatie derivátov.
Prečítajte si tiež: Ako používať číslo nula v matematike?
Otázky a odpovede
- Ako vyriešim problém ako y = 5 (r^t)?Existujú dve možnosti: (1) Budete musieť zadať hodnoty pre dve z troch neznámych, aby ste potom mohli vyriešiť tretiu neznámu; alebo (2) budete potrebovať dve ďalšie rovnice v tých istých troch neznámych, pretože tri neznáme môžete vyriešiť iba vtedy, ak v týchto neznámych máte systém troch rovníc.
