Ako ukázať priestoročasovú nemennosť?
Vo fyzickom vesmíre sa miesta v časopriestore nazývajú udalosti; udalosť je určené miesto v trojrozmernom priestore a časový bod. Vzdialenosť medzi dvoma udalosťami sa nazýva časopriestorový interval. V špeciálnej relativite je časopriestorový interval nemennou veličinou. Inými slovami, pozorovateľ ho vždy zmeria tak, aby bol rovnaký, bez ohľadu na jeho referenčný rámec. Ďalej definujeme časopriestorový interval pomocou časovej konvencie - konvencie, v ktorej sú dve udalosti v príčinnom vzťahu.
s2 = (cΔt) 2− (Δx) 2 {\ Displaystyle s^{2} = (c \ Delta t)^{2}-(\ Delta x)^{2}}
(Vesmírna konvencia jednoducho obracia znamienka, takže negatív je na časovej zložke. Obe konvencie sú široko používané, preto sa uistite, že ste konzistentní a poznáte konvencie iných autorov.)
Tento interval je podobný Pytagorovej vete, ktorá spája strany pravouhlého trojuholníka, ale so zásadnou zmenou znamienka. To podčiarkuje skutočnosť, že nepracujeme v euklidovskom priestore, ale skôr v Minkowského časopriestore a že vzdialenosti nie sú založené na jednotkovom kruhu, ale skôr na jednotkovej hyperbole.
Overujeme, že nemennosť časopriestorového intervalu je priamym dôsledkom Lorentzových transformácií, ktoré sú samy priamym dôsledkom postulátov špeciálnej relativity. Prepletenie priestoru a času, ako je vidieť na týchto transformáciách, nás núti zásadne prehodnotiť tieto koncepty - po prvé, hodiny nemerajú čas, ale skôr časopriestorový interval, po ktorom prechádzajú.
- 1Začnite s časopriestorovým intervalom v posilnenom rámci. Uvažujeme dva referenčné rámce - stacionárny súradnicový rámec a „zosilnený“ rámec, ktorý sa vzhľadom na nás pohybuje určitou rýchlosťou. Prvočísla používame na označenie veličín nameraných v posilnenom rámci.
- (cΔt ′) 2− (Δx ′) 2 {\ displaystyle (c \ Delta t^{\ prime})^{2}-(\ Delta x^{\ prime})^{2}}
- 2Pripomeňme si lorentzové transformácie. Pre jednoduchosť sa budeme zaoberať rozmermi 1+1 namiesto 3+1, pretože veličiny kolmé na smer zosilnenia sú nezmenené. Nižšie, γ = 11-v2c2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}} je Lorentz faktor a β = vc {\ displaystyle \ p = {\ frac {v} {c}}} je rýchlosť, pokiaľ ide o rýchlosť svetla. Zápis transformácií týmto spôsobom vrhá svetlo na symetriu priestoru a času.
- Δx ′ = γ (Δx − βcΔt) {\ Displaystyle \ Delta x^{\ prime} = \ gamma (\ Delta x- \ beta c \ Delta t)}
- cΔt ′ = γ (cΔt − βΔx) {\ displaystyle c \ Delta t^{\ prime} = \ gamma (c \ Delta t- \ beta \ Delta x)}
- 3Nahraďte tieto výrazy časopriestorovým intervalom.
- (γ (cΔt − βΔx)) 2− (γ (Δx − βcΔt)) 2 {\ Displaystyle (\ gamma (c \ Delta t- \ beta \ Delta x))^{2}-(\ gamma (\ Delta x -\ beta c \ Delta t))^{2}}
- 4Zjednodušte výsledný výraz. Vylúčte γ2 {\ Displaystyle \ gamma ^{2}} a rozbaľte. Zrušte podobné výrazy a zozbierajte 1 − β2 {\ Displaystyle 1- \ beta ^{2}} pripojené k obom (cΔt) 2 {\ displaystyle (c \ Delta t) ^{2}} a (Δx) 2. {\ štýl zobrazenia (\ Delta x)^{2}.}
γ2 [(cΔt) 2−2cΔtβΔx+β2 (Δx) 2 - ((Δx) 2−2ΔxβcΔt+β2 (cΔt) 2)] = γ2 [(cΔt) 2+β2 (Δx) 2− (Δx) 2 − β2 (cΔt) 2)] = γ2 [(cΔt) 2 (1 − β2) - (Δx) 2 (1 − β2)] = γ2 (1 − β2) [(cΔt) 2− (Δx) 2] {\ Displaystyle {\ begin {aligned} & \ gamma ^{2} [(c \ Delta t) ^{2} -2c \ Delta t \ beta \ Delta x+\ beta ^{2} (\ Delta x) ^{2}- ((\ Delta x) ^{2} -2 \ Delta x \ beta c \ Delta t+\ beta ^{2} (c \ Delta t) ^{2})] \\ = \; & \ gamma ^{2 } [(c \ Delta t)^{2}+\ beta^{2} (\ Delta x)^{2}-(\ Delta x)^{2}-\ beta^{2} (c \ Delta t)^{2})] \\ = \; & \ gamma^{2} [(c \ Delta t)^{2} (1- \ beta^{2})-(\ Delta x)^{2} (1- \ beta ^{2})] \\ = \; & \ gamma ^{2} (1- \ beta ^{2}) [(c \ Delta t) ^{2}-(\ Delta x) ^{2}] \ end {zarovnaný}}} - 5Vzťahujte γ2 {\ displaystyle \ gamma ^{2}} s β2 {\ displaystyle \ beta ^{2}} .
- Pripomeňme, že . Γ = 11-v2c2 {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 -. {\ Frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}} Tento možno alternatívne zapísať ako γ = 11 − β2. {\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^{2}}}}.}
- Teraz zarovnáme obe strany.
- γ2 = 11 − β2 {\ displaystyle \ gamma ^{2} = {\ frac {1} {1- \ beta ^{2}}}}
- Tu je zrejmé, že γ2 (1-β2) = 1 {\ displaystyle \ y ^ {2} (1- \ p ^ {2}) = 1} je identita, a tým ruší samo. Pretože náš konečný výsledok je nezávislý na rýchlosti zosilneného rámca, ukázali sme, že časopriestorový interval sa meria ako rovnaký v každom zotrvačnom referenčnom rámci. Všimnite si toho, že to neplatí pre zrýchlené snímky alebo scenáre, kde gravitácia nie je zanedbateľná.
- (cΔt ′) 2− (Δx ′) 2 = (cΔt) 2− (Δx) 2 {\ Displaystyle (c \ Delta t^{\ prime})^{2}-(\ Delta x^{\ prime}) ^{2} = (c \ Delta t)^{2}-(\ Delta x)^{2}}
![{\ begin {aligned} a \ gamma ^{{2}} [(c \ delta t) ^{{2}}-2c \ delta t \ beta \ delta x+\ beta ^{{2}} (\ delta x)^{{2}}-((\ delta x)^{{2}}-2 \ delta x \ beta c \ delta t+\ beta^{{2}} (c \ delta t)^{{2} })] \\ = \; a \ gamma ^{{2}} [(c \ delta t) ^{{2}}+\ beta ^{{2}} (\ delta x) ^{{2}} -(\ delta x) ^{{2}}-\ beta ^{{2}} (c \ delta t) ^{{2}})] \\ = \; a \ gamma ^{{2}} [(c \ delta t) ^{{2}} (1- \ beta ^{{2}})-(\ delta x) ^{{2}} (1- \ beta ^{{2}})] \ \ = \; a \ gamma ^{{2}} (1- \ beta ^{{2}}) [(c \ delta t) ^{{2}}-(\ delta x) ^{{2}}] \ end {zarovnaný}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bd86d22fda91af413c675069af8bffe9ed05eb)
