Ako vypočítať pravdepodobnosť viacnásobných kociek?

1. 1
   Všimnite si počtu kociek, ich stranách a požadovaného súčtu.
2. 2
   Vymenujte všetky spôsoby, ktorými je možné dosiahnuť súčet. To môže byť únavné pre veľký počet kociek, ale je to celkom jednoduché. To je ekvivalentné k nájdeniu všetkých rozdelení k na presne n častí bez časti väčšej ako r. Príklad pre n = 5, r = 6 a k = 12 je uvedený ako príklad. Aby sa zabezpečilo, že počet je vyčerpávajúci a že žiadna partícia sa nepočíta dvakrát, sú partície zobrazené v lexikografickom poradí a kocky v každom oddiele v nezostupnom poradí.
3. 3
   Nie všetky oddiely uvedené v predchádzajúcom kroku sú rovnako pravdepodobné. Preto musia byť uvedené v zozname, nie iba počítané. V menšom príklade troch nástrojov priečka 123 pokrýva 6 možností (123, 132, 213, 231, 312, 321), zatiaľ čo priečka 114 pokrýva iba 3 (114, 141, 411) a 222 zahŕňa iba seba. Na vypočítanie počtu spôsobov permutácie číslic v každom oddiele použite multinomický vzorec. Tieto informácie boli pridané do tabuľky z predchádzajúcej časti.
4. 4
   Pridajte celkový počet spôsobov, ako získať požadovanú sumu.
5. 5
   Rozdelte celkovým počtom výsledkov. Pretože každá kocka má r rovnako pravdepodobných tvárí, je to jednoducho r ⁿ.

Táto metóda dáva pravdepodobnosť všetkých súčtov pre všetky počty kociek. Dá sa ľahko implementovať do tabuľky.

1. 1
   Všimnite si pravdepodobnosti výsledkov jednej kocky. Zaznamenajte ich do tabuľky. Uvedený príklad používa 6-hranné kocky. Prázdne riadky pre záporné sumy sa považujú za nuly a umožňujú použiť rovnaký vzorec vo všetkých riadkoch.
2. 2
   V stĺpci pre 2 kocky použite uvedený vzorec. To znamená, že pravdepodobnosť, že 2 kocky zobrazia akýkoľvek súčet k, sa rovná súčtu nasledujúcich udalostí. Pre veľmi vysoké alebo nízke hodnoty k môžu byť niektoré alebo všetky alebo tieto výrazy nulové, ale vzorec platí pre všetky k.

   • Prvá matrica ukazuje k-1 a druhá ukazuje 1.
   • Prvá raznica ukazuje k-2 a druhá ukazuje 2.
   • Prvá raznica ukazuje k-3 a druhá ukazuje 3.
   • Prvá raznica ukazuje k-4 a druhá ukazuje 4.
   • Prvá raznica ukazuje k-5 a druhá ukazuje 5.
   • Prvá raznica ukazuje k-6 a druhá ukazuje 6.
3. 3
   Rovnako tak pre tri alebo viac kociek stále platí rovnaký vzorec s použitím teraz známych pravdepodobností pre každú danú sumu na jednu kocku menej. Vzorec zadaný v kroku dva je teda možné vyplniť nadol aj naprieč, kým tabuľka neobsahuje toľko údajov, koľko je potrebné.
4. 4
   Zobrazená tabuľka vypočítala „počet spôsobov“, nie „pravdepodobnosť“, ale prevádzanie medzi nimi je jednoduché: pravdepodobnosť = počet spôsobov / r^n, kde r je počet strán na každej kocke a n je počet kociek. Alternatívne je možné tabuľku upraviť tak, aby priamo počítala pravdepodobnosť.

1. 1
   Napíšte polynóm, (1/r) (x + x ² +... + x ^r). Toto je generujúca funkcia pre jednu matricu. Koeficientom výrazu x ^k je pravdepodobnosť, že kocka ukazuje k.
2. 2
   Zvýšte tento polynóm na n ^-tú mocninu, aby ste získali zodpovedajúcu generujúcu funkciu pre súčet zobrazený na n kockách. To je výpočet (1/r ⁿ) (x + x ² +... + x ^r) ⁿ. Ak je n väčšie ako asi 2, pravdepodobne to budete chcieť urobiť na počítači.
3. 3
   Výpočtovo je to ekvivalent k predchádzajúcej metóde, ale niekedy je jednoduchšie generovať teoretické výsledky pomocou generujúcej funkcie. Napríklad hod dvoma pravidelnými 6-hrannými kockami má presne rovnaké rozdelenie súčtov ako kocka označená (1, 2, 2, 3, 3, 4) a iná označená (1, 3, 4, 5, 6, 8). Dôvodom je, že (x +x ² +x ² +x ³ +x ³ +x ⁴) (x +x ³ +x ⁴ +x ⁵ +x ⁶ +x ⁸) = (x +x ² +x ³+x ⁴ +x ⁵ +x ⁶) (x +x ² +x ³ +x ⁴ +x ⁵ +x ⁶).

1. 1
   Presný výpočet vyššie uvedenými metódami môže byť pre veľký počet kociek náročný. Centrálna limitná veta uvádza, že suma radu rovnakých kociek blíži normálne rozdelenie ako počet kociek, sa zvyšuje.
2. 2
   Vypočítajte priemer a štandardnú variáciu na základe počtu a typu kociek. Za predpokladu, že ide o kocky číslované od 1 do r, platia nižšie uvedené vzorce.

   • Priemer je (r+1)/2.
   • Rozptyl je n (r^2-1)/12.
   • Štandardná odchýlka je druhá odmocnina rozptylu.
3. 3
   Na aproximáciu súčtu kociek použite normálne rozdelenie s vyššie uvedeným priemerom a štandardnou odchýlkou.