Ako nakresliť graf racionálnej funkcie?
Pri veľkých kladných alebo záporných hodnotách x sa 17/(8x + 4) blíži k nule a graf sa približuje k čiare y = (0,5) x - (1,75).
Racionálna funkcia je rovnica, ktorá má tvar y = N (x)/D (x), kde N a D sú polynómy. Pokus o nakreslenie presného grafu jedného z nich môže byť komplexným prehľadom mnohých z najdôležitejších stredoškolských matematických tém od základnej algebry po diferenciálny počet. Uvažujme o nasledujúcom príklade: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
- 1Nájdite zachytenie y. Jednoducho nastavte x = 0. Všetko okrem konštantných výrazov zmizne a zostane y = 2,5. Vyjadrením ako súradnicového páru (0, 2,5) je bod na grafe. Znázornite si ten bod.
- 2Nájdite horizontálnu asymptotu. Dlhým delením menovateľa na čitateľa určíte správanie y pre veľké absolútne hodnoty x. V tomto prípade delenie ukazuje, že y = (0,5) x - (1,75) + 17/(8 x + 4). Pri veľkých kladných alebo záporných hodnotách x sa 17/(8 x + 4) blíži k nule a graf sa približuje k čiare y = (0,5) x - (1,75). Túto čiaru nakreslite do grafu pomocou prerušovanej alebo slabo nakreslenej čiary.
- Ak je stupeň čitateľa menší ako stupeň menovateľa, nie je potrebné nič deliť a asymptota je y = 0.
- Ak deg (N) = deg (D), asymptota je horizontálna čiara v pomere vedúcich koeficientov.
- Ak deg (N) = deg (D) + 1, asymptota je čiara, ktorej sklon je pomerom vedúcich koeficientov.
- Ak deg (N)> deg (D) + 1, tak pre veľké hodnoty | x |, y rýchlo prejde na kladné alebo záporné nekonečno ako kvadratický, kubický alebo vyšší stupeň polynómu. V tomto prípade pravdepodobne nestojí za to presne vykresliť podiel delenia.
- 3Nájdite nuly. Racionálna funkcia má nulu, keď je jej čitateľ nulový, takže nastavte N ( x) = 0. V príklade 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminant tejto kvadratickej rovnice je b 2 - 4 ac = 6 2 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Pretože diskriminant je negatívny, N ( x), a teda f ( x), nemá žiadne skutočné korene. Graf nikdy neprekračuje os x. Ak boli nájdené nejaké nuly, pridajte tieto body do grafu.
Racionálna funkcia má nulu, keď je čitateľ nulový, takže nastavte N (x) = 0. - 4Nájdite zvislé asymptoty. K vertikálnej asymptote dochádza, keď je menovateľ nulový. Nastavenie 4 x+ 2 = 0 dáva zvislú čiaru x= -0,5. Graficky vykreslite každú zvislú asymptotu svetlou alebo prerušovanou čiarou. Ak nejaká hodnota xznamená N (x) = 0 a D (x) = 0, môže, ale nemusí existovať vertikálna asymptota. Je to zriedkavé, ale prečítajte si tipy, ako s ním zaobchádzať, ak k nemu dôjde.
- 5Pozrite sa na zvyšok delenia v kroku 2. Kedy je kladný, záporný alebo nulový? V tomto prípade je čitateľ zvyšku 17, čo je vždy kladné. Menovateľ 4 x + 2 je kladný napravo od zvislej asymptoty a záporný vľavo. To znamená, že graf sa približuje k lineárnej asymptote z vyššie uvedeného pre veľké kladné hodnoty x a zospodu pre veľké záporné hodnoty x. Pretože 17/(8 x + 4) nemôže byť nikdy nula, tento graf nikdy nepretína priamku y = (0,5) x - (1,75). Nepridávajte nič do grafu práve teraz, ale tieto závery si poznačte na neskôr.
- 6Nájdite miestne extrémy. Lokálny extrém sa môže vyskytnúť vždy, keď N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. V tomto prípade N '(x) = 4 x - 6 a D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Rozširujúce, kombináciou výrazov a delením 4 listami x 2 + x - 4 = 0. Kvadratický vzorec ukazuje korene blízko x = 1,5 a x = -2,5. (Tieto sa líšia približne o 0,06 od presných hodnôt, ale náš graf nebude dostatočne presný, aby sa staral o túto úroveň podrobností. Voľba slušnej racionálnej aproximácie uľahčuje ďalší krok.)
- 7Nájdite hodnoty y každého miestneho extrému. Pripojte hodnoty x z predchádzajúceho kroku späť do pôvodnej racionálnej funkcie a vyhľadajte zodpovedajúce hodnoty y. V tomto prípade f (1,5) = 16 a f (-2,5) = -656. Pridajte tieto body (1,5, 16) a (-2,5, -656) do grafu. Keďže sme sa v predchádzajúcom kroku priblížili, nejde o presné minimá a maxima, ale sú si pravdepodobne blízke. (Vieme, že (1,5, 16) je veľmi blízko miestneho minima. Od kroku 3 vieme, že y je vždy kladné, keď x > -0,5 a našli sme hodnotu malú ako 16, teda aspoň v v tomto prípade je chyba pravdepodobne menšia ako hrúbka čiary.)
Racionálna funkcia je rovnica, ktorá má tvar y = N (x)/D (x), kde N a D sú polynómy. - 8Spojte body a plynule roztiahnite graf od známych bodov k asymptotám a dbajte na to, aby ste k nim pristupovali zo správneho smeru. Dávajte pozor, aby ste neprekročili os x okrem bodov, ktoré už boli nájdené v kroku 3. Neprekračujte horizontálnu alebo lineárnu asymptotu okrem bodov, ktoré ste už našli v kroku 5. Nemeňte zošikmenie nahor na sklon nadol, iba ak extrém nájdený v predchádzajúcom kroku.
- Niektoré z týchto krokov môžu zahŕňať riešenie polynómu vysokého stupňa. Ak nemôžete nájsť presné riešenia pomocou faktorizácie, vzorcov alebo iných prostriedkov, odhadnite riešenia pomocou numerických techník, ako je Newtonova metóda.
- Ak budete postupovať podľa uvedených pokynov, spravidla nie je potrebné použiť testy druhých derivátov alebo podobné potenciálne komplikované metódy na určenie, či sú kritické hodnoty lokálne maximá, lokálne minimá alebo žiadne. Skúste najskôr použiť informácie z predchádzajúcich krokov a trochu logiky.
Graf je parabola otvárajúca sa nahor od minimálnej hodnoty y 1. - Ak sa to pokúšate dosiahnuť iba metódami precalculus, kroky pri hľadaní lokálnych extrémov môžete nahradiť výpočtom niekoľkých ďalších (x, y) usporiadaných párov medzi každým párom asymptotov. Prípadne, ak vás nezaujíma, prečo to funguje, nie je dôvod, prečo by študent v predkalkule nemohol vziať deriváciu polynómu a vyriešiť N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
- V zriedkavých prípadoch môžu mať čitateľ a menovateľ spoločný nekonštantný faktor. Ak budete postupovať podľa týchto krokov, bude sa to zobrazovať ako nula a vertikálna asymptota na rovnakom mieste. To nie je možné a čo sa skutočne stane, je jedno z nasledujúceho:
- Nula v N (x) má väčšiu multiplicitu ako nula v D (x). Graf f (x) sa v tomto bode blíži k nule, ale nie je tam definovaný. Označte to otvoreným kruhom okolo bodu.
- Nula v N (x) a nula v D (x) majú rovnakú multiplicitu. Graf pre túto hodnotu x približuje nejaký nenulový bod, ale nie je tam definovaný. Opäť to naznačte otvoreným kruhom.
- Nula v N (x) má nižšiu multiplicitu ako nula v D (x). Tu je vertikálna asymptota.
Prečítajte si tiež: Ako nakresliť vtipne vyzerajúcu tvár?
Otázky a odpovede
- Nemohli by sme v určitom okamihu obmedziť funkciu? Ak nie, na akej funkcii to môžeme urobiť?Krok o horizontálnych asymptotách nachádza hranicu, keď x prechádza na + a - nekonečno. Môžete tiež použiť jednostranné limity pre každú vertikálnu asymptotu, aby ste zistili, či sa graf blíži k +inf alebo -inf z každej strany.
- Ako vytvorím graf bez interceptu x?To by bol graf funkcie, kde y sa nikdy nerovná nule. Príkladom je y = x² + 1. Neexistuje žiadna hodnota x, pre ktorú je zodpovedajúca hodnota y nula. Graf je parabola otvárajúca sa nahor od minimálnej hodnoty y 1.
