Ako určiť trojuholník a kruh s rovnakou plochou?

Že plocha ktorejkoľvek kružnice sa rovná oblasti pravouhlého trojuholníka — Táto veta hovorí, že plocha ktorejkoľvek kružnice sa rovná oblasti pravouhlého trojuholníka, ktorého základňa sa rovná polomeru kružnice a ktorej výška sa rovná obvodu kružnice.

Plocha uzavretej figúry je priestor vo vnútri meraný v štvorcových jednotkách. Pre väčšinu polygónov, ako sú trojuholníky, sa plocha počíta pomocou dĺžky základne a výšky. Pretože kruh nemá základňu ani výšku, plocha sa počíta pomocou polomeru. Napriek týmto rozdielom môžete pomocou rôznych metód vytvoriť trojuholník, ktorý má rovnakú plochu ako daný kruh, a naopak.

Metóda 1 z 3: pomocou archimedovej vety

1
Zistite dĺžku polomeru kruhu. Táto informácia by mala byť poskytnutá, inak by ste mali byť schopní ju zmerať. Ak nepoznáte polomer kruhu, nemôžete použiť túto metódu.
- Môžete mať napríklad kruh s polomerom 4 cm.
2
Nastavte vzorec pre Archimedovu vetu. Táto veta uvádza, že plocha akéhokoľvek kruhu sa rovná oblasti pravouhlého trojuholníka, ktorého základňa sa rovná polomeru kruhu a ktorého výška sa rovná obvodu kruhu. Matematicky to ukazuje vzorec π (r2) = 12r (2π (r)) {\ displaystyle \ pi (r^{2}) = {\ frac {1} {2}} r (2 \ pi (r))} $\ pi (r ^ {{2}}) = {\ frac {1} {2}} r (2 \ pi (r))$ , kde r {\ displaystyle r} $R$ je polomer kruhu.
- Všimnite si toho, že $\ pi (r ^ {{2}})$ je vzorec pre oblasť kruhu a ${\ frac {1} {2}} {\ text {base}} \ times {\ text {height}}$ je vzorec pre plochu trojuholníka. Vzorec je nastavený tak, aby ukazoval, že trojuholník bude mať základňu rovnajúcu sa polomeru ( $R$ ) a výšku rovnú obvodu kruhu ( $2 \ pi (r)$ ).
3
Pripojte dĺžku polomeru do vzorca. Uistite sa, že ste nahradili všetky tri inštancie r {\ displaystyle r} $R$ .
- Ak je polomer napríklad 4 cm, rovnica bude vyzerať takto: $\ pi (4 ^ {{2}}) = {\ frac {1} {2}} 4 (2 \ pi (4))$ .
4
Vypočítajte plochu kruhu. Bude to tiež oblasť trojuholníka. Ukazuje $\ pi (r ^ {{2}})$ to vo vzorci π (r2) {\ displaystyle \ pi (r^{2})}. Ak nepoužívate vedeckú kalkulačku, použite hodnotu 3,14 ako hodnotu π {\ displaystyle \ pi} $\ pi$ .
- Napríklad:
  $\ pi (r ^ {{4}}) = {\ frac {1} {2}} 4 (2 \ pi (4))$
  $\ pi (4 ^ {{2}}) = {\ frac {1} {2}} 4 (2 \ pi (4))$
  $16 \ pi = {\ frac {1} {2}} 4 (2 \ pi (4))$
  $16 (3,14) = {\ frac {1} {2}} 4 (2 (3,14) (4)) = 50,24$
- Plocha kruhu a trojuholníka je teda asi 50,24 centimetrov štvorcových.
Všimnite si, že toto je vzorec pre oblasť kruhu a je to vzorec pre oblasť trojuholníka.
5
Vypočítajte obvod kruhu. To vám poskytne výšku vášho trojuholníka. (Pamätajte, že základňa trojuholníka sa rovná polomeru kruhu). Obvod je vo vzorci znázornený výrazom 2π (r) {\ displaystyle 2 \ pi (r)} $2 \ pi (r)$ . Ak nepoužívate vedeckú kalkulačku, použite hodnotu 3,14 ako hodnotu π {\ displaystyle \ pi} $\ pi$ .
- Napríklad:
  $50,24 = {\ frac {1} {2}} 4 (2 (3,14) (4))$
  $50,24 = {\ frac {1} {2}} 4 (25,12)$
- Takže výška trojuholníka je asi 25,12 cm.
6
Skontrolujte svoju prácu. Dokončiť výpočty v rovnici, aby istí, že obe strany sú si rovné. Všimnite si, že ak ste pri použití π {\ Displaystyle \ pi} $\ pi$ zaokrúhlili na 3,14, rovnica by mohla byť vzdialená niekoľko desatinných miest.
- Napríklad:
  $50,24 = {\ frac {1} {2}} 4 (25,12)$
  $50,24 = {\ frac {1} {2}} (100,56)$
  $50,24 = 50,28$
- Pretože ste zaokrúhlili na 3,14 a rovnica je iba o 2 stotiny väčšia, môžete predpokladať, že oblasti sú rovnaké, a preto sú vaše výpočty správne. Plocha kruhu s polomerom 4 cm sa teda rovná ploche pravého trojuholníka so základňou 4 cm a výškou 25,12 cm.

Metóda 2 z 3: pomocou polomeru kruhu a výšky trojuholníka

1

Nastavte vzorec pre oblasť kruhu. Vzorec je $A = \ pi (r ^ {{2}})$ , kde $A$ sa rovná ploche kruhu a $R$ je rovný polomeru kruh.
2
Zapojte dĺžku polomeru do vzorca a vycentrujte ho. Nezabudnite nahradiť premennou r {\ displaystyle r} $R$ .
- Ak má kruh napríklad polomer 4 cm, váš vzorec bude vyzerať takto:
  $A = \ pi (4 ^ {{2}})$
  $A = \ pi (16)$ .
3
Vynásobte $\ pi$ . Ak nepoužívate kalkulačku, použite 3,14 pre π {\ Displaystyle \ pi} $\ pi$ . Tým získate plochu kruhu.
- Napríklad:
  $A = \ pi (16)$
  $A = 3,14 (16)$
  $A = 50,24$
- Plocha kruhu je teda asi 50,24 cm.
4

Nastavte vzorec pre oblasť trojuholníka. Vzorec je $A = {\ frac {1} {2}} bh$ , kde $A$ rovná ploche trojuholníka, $B$ rovná dĺžke trojuholníka základne, a $H$ rovná výške trojuholníka.

Takže plocha kruhu s polomerom asi 4 cm sa rovná ploche trojuholníka so základňou 5 cm a výškou 20 cm.
5
Zapojte oblasť do vzorca trojuholníka. Pretože chcete, aby bola plocha každého obrázka rovnaká, použite plochu, ktorú ste predtým vypočítali pre kruh.
- Ak ste napríklad zistili, že plocha kruhu je 50,24 cm, váš vzorec bude vyzerať takto: $50,24 = {\ frac {1} {2}} bh$ .
6
Výšku trojuholníka zapojte do vzorca. Túto metódu môžete použiť aj vtedy, ak máte zadanú dĺžku základne ( B {\ Displaystyle b} $B$ ). Stačí zapojiť príslušnú hodnotu pre príslušnú premennú.
- Napríklad ak je výška trojuholníka 10 cm, váš vzorec bude vyzerať takto: $50,24 = {\ frac {1} {2}} b (10)$ .
7
Vynásobte výšku trojuholníka ${\ frac {1} {2}}$ . Potom rozdeľte každú stranu rovnice týmto súčinom. To vám poskytne dĺžku základne vášho trojuholníka.
- Napríklad:
  $50,24 = 5b$
  ${\ frac {50,24} {5}} = {\ frac {5b} {5}}$
  $10,05 = b$
- Takže plocha kruhu s polomerom 4 cm sa rovná ploche trojuholníka s výškou 10 cm a základňou asi 10 cm.

Metóda 3 z 3: pomocou základne a výšky trojuholníka

1

Nastavte vzorec pre oblasť trojuholníka. Vzorec je $A = {\ frac {1} {2}} bh$ , kde $A$ rovná ploche trojuholníka, $B$ rovná dĺžke trojuholníka základne, a $H$ rovná výške trojuholníka.
2
Do vzorca vložte dĺžku základne a výšku. Tieto hodnoty by ste mali dostať, alebo by ste mali byť schopní ich zmerať.
- Napríklad ak je základňa trojuholníka 5 cm a výška trojuholníka 20 cm, potom bude vaša rovnica vyzerať takto: $A = {\ frac {1} {2}} (5) (20)$ .
3
Vynásobte základňu a výšku a potom vynásobte výrobok číslom ${\ frac {1} {2}}$ . Získate tak plochu trojuholníka.
- Napríklad:
  $A = {\ frac {1} {2}} (5) (20)$
  $A = {\ frac {1} {2}} (100)$
  $A = 50$
- Takže plocha trojuholníka je 50 centimetrov štvorcových.
Plocha kruhu s polomerom 4 cm sa teda rovná ploche pravého trojuholníka so základňou 4 cm a výškou 25,12 cm.
4

Nastavte vzorec pre oblasť kruhu. Vzorec je $A = \ pi (r ^ {{2}})$ , kde $A$ sa rovná ploche kruhu a $R$ je rovný polomeru kruh.
5
Zapojte oblasť do vzorca na kruh. Pretože chcete, aby bola plocha každého obrázku rovnaká, použite plochu, ktorú ste predtým vypočítali pre trojuholník.
- Ak ste napríklad našli plochu trojuholníka 50 cm, váš vzorec bude vyzerať takto: $50 = \ pi (r ^ {{2}})$ .
6
Rozdeľte každú stranu rovnice podľa $\ pi$ . Ak nepoužívate vedeckú kalkulačku, môžete zaokrúhliť π {\ Displaystyle \ pi} $\ pi$ na 3,14.
- Napríklad:
  $50 = \ pi (r ^ {{2}})$
  $50 = 3,14 (r ^ {{2}})$
  ${\ frac {50} {3,14}} = {\ frac {3,14 (r ^ {{2}})} {3,14}}$
  $15,92 = r ^ {{2}}$
7
Vezmite druhú odmocninu na každej strane rovnice. Získate tak dĺžku polomeru kruhu s plochou rovnajúcou sa trojuholníku.
- Napríklad:
  $15,92 = r ^ {{2}}$
  ${\ sqrt {15,92}} = {\ sqrt {r ^ {{2}}}}$
  $3,99 = r$ .
- Takže plocha kruhu s polomerom asi 4 cm sa rovná ploche trojuholníka so základňou 5 cm a výškou 20 cm.