Ako radiť matice?
Maticová rovnica je základným základom redukcie riadkov.
Ak ste niekedy absolvovali kurz algebry na strednej alebo strednej škole, pravdepodobne ste narazili na problém, ako je tento: riešenie pre x {\ displaystyle x } a y. {\ Displaystyle y.}
3x+8y = −339x+y = −30 {\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} & 3x+8y = -33 \\ & 9x+y = -30 \ end {zarovnaný}}}
Ako zistím, či je riešenie jedinečné alebo nie je jedinečné?
Tieto problémy sa nazývajú sústavy rovníc. Často vyžadujú, aby ste s jednou z rovníc manipulovali tak, aby ste získali hodnoty ostatných premenných. Ale čo keď máte 5 rovníc? Alebo 50? Alebo viac ako 200 000, ako mnoho problémov, s ktorými sa stretávame v reálnom živote? To sa stáva oveľa náročnejšou úlohou. Ďalším spôsobom, ako tento problém vyriešiť, je eliminácia Gaussa-Jordana alebo zníženie počtu riadkov.
Časť 1 zo 4: Nastavenie matice
- 1Zistite, či je redukcia riadkov pre problém správna. Systém dvoch premenných nie je veľmi ťažké vyriešiť, takže redukovanie riadkov nemá žiadne výhody oproti substitúcii alebo normálnej eliminácii. Tento proces sa však so zvyšujúcim sa počtom rovníc stáva oveľa pomalším. Redukcia riadkov vám umožňuje používať rovnaké techniky, ale systematickejším spôsobom. Ďalej uvažujeme o systéme 4 rovníc so 4 neznámymi.
- x1+x2+2x3 = 12x1 − x2−2x4 = −2x1 − x2 − x3+x4 = 42x1 − x2+2x3 = 0 {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} & x_ {1}+x_ {2}+2x_ {3 } = 1 \\ & 2x_ {1} -x_ {2} -2x_ {4} =-2 \\ & x_ {1} -x_ {2} -x_ {3}+x_ {4} = 4 \\ & 2x_ {1 } -x_ {2}+2x_ {3} = 0 \ koniec {zarovnaný}}}
- Na účely zrozumiteľnosti je užitočné zladiť rovnice tak, aby pri pohľade zhora nadol boli koeficienty každej premennej ľahko rozpoznateľné, najmä preto, že premenné sa rozlišujú iba pomocou dolných indexov.
- 2Pochopte maticovú rovnicu. Maticová rovnica Ax = b {\ Displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}} je základným základom redukcie riadkov. Táto rovnica hovorí, že matica pôsobiaca na vektor x {\ Displaystyle \ mathbf {x}} vytvára ďalší vektor b. {\ Displaystyle \ mathbf {b}.}
- Uvedomte si, že ako tieto vektory môžeme zapísať premenné a konštanty. Tu x = (x1, x2, x3, x4), {\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}),} kde x {\ displaystyle \ mathbf {x}} je stĺpcový vektor. Konštanty je možné zapísať ako stĺpcový vektor. B. {\ Displaystyle \ mathbf {b}.}
- Zostávajú koeficienty. Tu vložíme koeficienty do matice A. {\ Displaystyle A.} Uistite sa, že každý riadok v matici zodpovedá rovnici a každý stĺpec zodpovedá premennej.
- (11202−10−21−1−112−120) (x1x2x3x4) = (1−240) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ 2 &- 1 & 2 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \\ x_ {4} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 \ \ -2 \\ 4 \\ 0 \ end {pmatrix}}}
- 3Premeňte svoje rovnice na formu rozšírenej matice. Ako je znázornené, je zvislá čiara oddeľuje koeficienty, písané ako matice A, {\ displaystyle A} z konštánt, písomných ako vektor b. {\ Displaystyle \ mathbf {b}.} U zvislých tyčových signálov prítomnosť rozšírená matica (A | b). {\ Displaystyle (A | \ mathbf {b}).}
- (112012−10−2−21−1−1142−1200) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 & 4 \ \ 2 & -1 & 2 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}
Prečítajte si tiež: Ako kúpiť pH meter?
Časť 2 zo 4: riadková forma
- 1Pochopte základné riadkové operácie. Teraz, keď máme systém rovníc ako maticu, musíme s ním manipulovať, aby sme dostali požadovanú odpoveď. Existujú tri riadkové operácie, ktoré môžeme na matici vykonať bez zmeny riešenia. V tomto kroku bude riadok matice označený R, {\ Displaystyle R,} kde nám dolný index napovie, o ktorý riadok ide.
- Výmena riadkov. Jednoducho vymeňte dva riadky. Je to užitočné v niektorých situáciách, ku ktorým sa dostaneme o niečo neskôr. Ak chceme vymeniť riadky 1 a 4, označíme to R1↔R4. {\ Displaystyle R_ {1} \ leftrightarrow R_ {4}.}
- Skalárny násobok. Riadok môžete nahradiť jeho skalárnym násobkom. Ak napríklad chcete nahradiť riadok 2 samotným 5 -krát, napíšte R2 → 5R2. {\ Displaystyle R_ {2} \ to 5R_ {2}.}
- Sčítanie riadkov. Môžete nahradiť riadok so súčtom seba a lineárna kombinácia ostatných riadkov. Ak chceme nahradiť riadok 3 sám sebou plus dvakrát riadok 4, napíšeme R3 → R3+2R4. {\ Displaystyle R_ {3} \ to R_ {3}+2R_ {4}.} Ak chceme nahradiť riadok 2 samotný, plus riadok 3, plus dvakrát riadok 4, napíšeme R2 → R2+R3+2R4. {\ displaystyle R_ {2} \ to R_ {2}+R_ {3}+2R_ {4}.}
- Tieto riadkové operácie môžeme vykonávať súčasne a spomedzi troch riadkových operácií budú najužitočnejšie posledné dve.
- 2Identifikujte prvý pivot. Pivot je počiatočný koeficient každého radu. Je jedinečný pre každý riadok a stĺpec a identifikuje premennú podľa svojej rovnice. Pozrime sa, ako to funguje.
- Vo všeobecnosti bude prvý pivot vždy vľavo hore, takže x1 {\ displaystyle x_ {1}} má „svoju“ rovnicu. V našom prípade je prvý pivot 1 vľavo hore.
- Ak je číslo vľavo hore 0, zmeňte riadky, kým nie je. V našom prípade nemusíme.
- 3Znížte počet riadkov, aby bolo všetko vľavo a dole od pivotu 0. Keď sa to stane potom, čo sme identifikovali všetky naše pivoty, matica bude vo forme riadkového sledu. Riadok, v ktorom spočíva čap, sa nemení.
- Nahraďte riadok 2 sám mínus dvakrát riadok 1. To zaručuje, že prvok v riadku 2, stĺpci 1 bude 0.
- Vymeňte riadok 3 za mínus riadok 1. To zaručuje, že prvok v riadku 3, stĺpci 1 bude 0.
- Nahraďte riadok 4 sám mínus dva krát riadok 1. Prvok v riadku 4 stĺpci 1 bude 0. Pretože tieto riadkové operácie sa týkajú rôznych riadkov, môžeme ich vykonávať súčasne. V rámci predvádzania vašej práce nie je potrebné vypisovať štyri matice.
- Tieto riadkové operácie je možné zhrnúť nižšie.
- R2 → R2−2R1R3 → R3 − R1R4 → R4−2R1 {\ displaystyle {\ begin {aligated} R_ {2} & \ to R_ {2} -2R_ {1} \\ R_ {3} & \ to R_ {3 } -R_ {1} \\ R_ {4} & \ to R_ {4} -2R_ {1} \ end {zarovnaný}}}
- (112010−3−4−2−40−2−3130−3−20−2) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & -2 & -3 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -2 & 0 & -2 \ end {array}} \ right)}
- 4Podľa toho identifikujte druhý čap a znížte počet riadkov.
- Druhým pivotom môže byť čokoľvek z druhého stĺpca, okrem toho, že v prvom riadku, pretože prvý pivot ho už robí nedostupným. Vyberieme prvok v riadku 2, stĺpci 2. Majte na pamäti, že ak je vybratý čap, ktorý nie je na uhlopriečke, musíte vymeniť riadky tak, aby bol.
- Vykonajte nasledujúce riadkové operácie tak, aby všetko pod pivotom bolo 0.
- R3 → 3R3−2R2R4 → R4 − R2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} R_ {3} & \ to 3R_ {3} -2R_ {2} \\ R_ {4} & \ to R_ {4} -R_ { 2} \ end {zarovnaný}}}
- (112010−3−4−2−400−171700222) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -1 & 7 & 17 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \ end {array}} \ right)}
- 5Podľa toho identifikujte tretí čap a znížte počet riadkov.
- Tretí pivot nemôže byť z prvého alebo druhého radu. Vyberme prvok v riadku 3, stĺpci 3. Všimnite si tu vzor. Vyberáme čapy pozdĺž uhlopriečky matice.
- Vykonajte nasledujúcu riadkovú operáciu. Potom štvrtý pivot automaticky vyjde ako pravý dolný prvok matice.
- R4 → R4+2R3 {\ displaystyle R_ {4} \ to R_ {4}+2R_ {3}}
- (112010−3−4−2−400−17170001636) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -1 & 7 & 17 \\ 0 & 0 & 0 & 16 & 36 \ end {array}} \ right)}
- Táto matica je teraz vo forme riadkového sledu. Boli identifikované otočné čapy a všetko vľavo a pod čapmi je 0. Majte na pamäti, že ide o formu riadkového sledu - nie sú jedinečné, pretože rôzne riadkové operácie môžu poskytnúť maticu, ktorá nevyzerá ako tá vyššie..
- Môžete okamžite započítať všetky ostatné premenné x4 = 94 {\ displaystyle x_ {4} = {\ frac {9} {4}}} Toto sa nazýva spätná substitúcia a toto počítače používajú po dosiahnutí tvaru riadka-echelonu na riešenie sústav rovníc. Budeme však pokračovať v redukovaní riadkov, kým nebude stáť nič iné ako otočné čapy a konštanty.
V rámci predvádzania vašej práce nie je potrebné vypisovať štyri matice.
Časť 3 zo 4: zmenšená forma radu echelon
- 1Pochopte, čo je redukovaná forma riadkového sledu (RREF). Na rozdiel od bežného riadkového sledu je RREF pre maticu jedinečný, pretože vyžaduje dve ďalšie podmienky:
- Otočné čapy sú 1.
- Otočné čapy sú jediným nenulovým záznamom v príslušných stĺpcoch.
- Potom, ak má systém rovníc jedno jedinečné riešenie, výsledná rozšírená matica bude vyzerať takto (I | x), {\ displaystyle (I | \ mathbf {x}),} kde I {\ Displaystyle I} je matica identity. Toto je náš konečný cieľ pre túto časť.
- 2Zníženie počtu riadkov na RREF. Na rozdiel od získania formy riadkového sledu neexistuje systematický proces, pomocou ktorého by sme identifikovali čapy a zodpovedajúcim spôsobom ich zmenšili. Jednoducho to musíme urobiť. Je však užitočné zjednodušiť pred pokračovaním - riadok 4 môžeme rozdeliť na 4. Tým sa aritmetika zjednoduší.
- (112010−3−4−2−400−171700049) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -1 & 7 & 17 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 \ end {array}} \ right)}
- 3Znížte počet riadkov tak, aby v treťom riadku boli všetky nuly okrem otočného čapu.
- R3 → 7R4−4R3 {\ displaystyle R_ {3} \ až 7R_ {4} -4R_ {3}}
- (112010−3−4−2−40040−500049) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -4 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 \ end {array}} \ right)}
- 4Znížte počet riadkov tak, aby druhý riadok boli všetky nuly okrem otočného čapu.
- R2 → R3+R2, {\ displaystyle R_ {2} \ to R_ {3}+R_ {2},} potom R2 → R4+2R2. {\ Displaystyle R_ {2} \ to R_ {4}+2R_ {2 }.} Potom zjednodušte druhý riadok.
- (112010−200−30040−500049) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 \ end {array}} \ right)}
- 5Znížte počet riadkov tak, aby boli v prvom riadku všetky nuly okrem pivotného čísla.
- R1 → 2R1+R2, {\ displaystyle R_ {1} \ to 2R_ {1}+R_ {2},} potom R1 → 2R1 − R3. {\ Displaystyle R_ {1} \ až 2R_ {1} -R_ {3 }.}
- (200040-200–30040–500049) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 2 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 9 \ end {array}} \ right)}
- 6Rozdeľte tak, aby každý čap bol 1.
- (1000201001,50010−1,2500012.25) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc | c} 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \ 1,5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1,25 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2,25 \ end {array}} \správny)}
- Toto je RREF a podľa očakávania nám to okamžite poskytne riešenie našej pôvodnej rovnice ako (I | x). {\ Displaystyle (I | \ mathbf {x}).} Teraz sme hotoví.
- x1 = 2x2 = 1,5x3 = −1,25x4 = 2,25 {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} x_ {1} & = 2 \\ x_ {2} & = 1,5 \\ x_ {3} & = -1,25 \\ x_ {4} & = 2,25 \ end {zarovnaný}}}
Pripojenie hodnoty pre a predloženie výsledného roztoku ako riešenia samozrejme neposkytuje všeobecné riešenie.
Časť 4 zo 4: žiadne jedinečné riešenia
- 1Pochopte prípad nekonzistentnosti. Príklad, ktorý sme si prešli vyššie, mal jedno jedinečné riešenie. V tejto časti sa pozrieme na prípady, keď sa v matici koeficientov stretnete s radom 0.
- Po tom, ako čo najlepšie zredukujete riadky na formu riadkového sledu, môžete naraziť na maticu podobnú nižšie. Dôležitou súčasťou je rad s 0, ale tiež si všimnite, že v treťom rade nám chýba otočný čap.
- (14210−4−140001) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right)}}
- Ten riadok 0 hovorí, že lineárna kombinácia premenných s koeficientmi 0 sa rovná 1. To nikdy nie je pravda, takže systém je nekonzistentný a nemá riešenie. Ak dosiahnete tento bod, ste hotoví.
- 2Pochopte prípad závislosti. Možno v riadku 0 je konštantný prvok v tomto riadku tiež 0, napríklad:
- (14210−4−140000) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & -4 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}}
- To signalizuje prítomnosť závislého riešenia - sady riešení s nekonečne veľkým počtom riešení. Niektorí vás môže požiadať, aby tu zastaviť, ale nie každý x {\ displaystyle \ mathbf {x}} je riešenie. Ak chcete zistiť, aké je skutočné riešenie, znížte počet riadkov na RREF.
- (1015010,25−10000) {\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc | c} 1 & 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 0,25 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right)}}
- V treťom stĺpci chýba po znížení na RREF pivot, čo teda táto matica presne hovorí? Uvedomte si, že otočné "priraďuje" riadok k tejto premennej ako jej rovnice, takže, pretože prvé dva riadky majú čapy, je možné identifikovať x1 {\ displaystyle x_ {1}} a x2. {\ Displaystyle x_ {2}.}
- x1+x3 = 5x2+14x3 = −1 {\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} x_ {1}+x_ {3} & = 5 \\ x_ {2}+{\ frac {1} {4}} x_ { 3} & =-1 \ end {zarovnaný}}}
- Prvá rovnica je rovnicou pre x1, {\ Displaystyle x_ {1},}
zatiaľ čo druhá rovnica je rovnicou pre x2. {\ Displaystyle x_ {2}.} Teraz vyriešte obe.
- x1 = 5 − x3x2 = −1−14x3 {\ displaystyle {\ begin {aligned} x_ {1} & = 5-x_ {3} \\ x_ {2} & =-1-{\ frac {1} {4 }} x_ {3} \ end {zarovnaný}}}
- Odtiaľ pochádza „závislosť“. Obaja x1 {\ displaystyle x_ {1}} a x2 {\ displaystyle x_ {2}} spoliehajú na X3, {\ displaystyle x_ {3},} , ale x3 {\ displaystyle x_ {3}} je ľubovoľný - jedná sa o voľná premenná. Bez ohľadu na to, čo to je, výsledná dvojica x1 {\ displaystyle x_ {1}} a x2 {\ displaystyle x_ {2}} bude platným riešením systému. Aby ste to zohľadnili, reparametizujte voľnú premennú nastavením x3 = t. {\ Displaystyle x_ {3} = t.}
- x1 = 5 − tx2 = −1−14t {\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} x_ {1} & = 5-t \\ x_ {2} & =-1-{\ frac {1} {4}} t \ end {zarovnaný}}}
- Samozrejme, zapojenie hodnoty pre t {\ displaystyle t} a prezentácia výsledného x {\ displaystyle \ mathbf {x}} ako riešenia neposkytuje všeobecné riešenie. Všeobecné riešenie je skôr
- x = (5 − t − 1−14tt), t∈R. {\ displaystyle \ mathbf {x} = {\ begin {pmatrix} 5-t \\-1-{\ frac {1} {4}} t \\ t \ end {pmatrix}}, t \ in \ mathbb {R}.}
- Vo všeobecnosti sa môžete stretnúť s n {\ displaystyle n} bezplatnými premennými. V tomto prípade je všetko, čo je potrebné, je, že ste reparameterize n {\ n} displaystyle závislých premenných.
- Redukcia riadkov sa stáva nepraktickou pre matice s viac ako 5 alebo 6 riadkami/stĺpcami, pretože počet aritmetických operácií stúpa faktoriálom rozmeru matice. Pomocou kalkulačky skontrolujte svoj RREF.
Otázky a odpovede
- Ako zistím, či je riešenie jedinečné alebo nie je jedinečné?Vykonajte zmenšenie radu ako obvykle. Ak má systém jedinečné riešenie, dostanete ich pozdĺž uhlopriečky a nuly všade inde. Jedinečné riešenia vyžadujú najmenej toľko rovníc ako neznámych (alebo stĺpcov ako riadkov). Ak existujú nekonečné riešenia, zistíte, že nemôžete vymazať jeden zo stĺpcov, pretože pre neho neexistuje žiadny pivot. Spravidla sa to stane, keď máte viac neznámych ako rovníc, ale môže sa to stať aj vtedy, keď ste si mysleli, že máte dostatok rovníc na jedinečné riešenie, ale neboli nezávislé a redukcia riadkov zjednodušila jednu z rovníc na 0x + 0y + 0z = 0.
