Ako odvodiť logistický rast?

V tomto článku odvodzujeme logistický rast oddelením premenných a riešením Bernoulliho rovnice.

Logistická funkcia je funkcia v tvare S, ktorá sa bežne používa na modelovanie rastu populácie. Rast populácie je obmedzený obmedzenými zdrojmi, takže aby sme to zohľadnili, predstavujeme nosnú kapacitu systému $L,$ ktorému populácia asymptoticky smeruje. Logistický rast môže byť teda vyjadrený nasledujúcou diferenciálnou rovnicou

${\ frac {{\ mathrm {d}} p} {{\ mathrm {d}} t}} = kp \ left (1-{\ frac {p} {l}} \ right)$

Takže musíme prevziať recipročnú hodnotu našej odpovede — Vyriešili sme diferenciálnu rovnicu, ale bola lineárna, takže musíme prevziať recipročnú hodnotu našej odpovede.

kde $P$ je populácia, $T$ je čas a $K$ je konštanta. Jasne vidíme, že keď populácia smeruje k svojej únosnosti, jej rýchlosť nárastu sa spomalí na 0. Vyššie uvedená rovnica je v skutočnosti špeciálnym prípadom Bernoulliho rovnice. V tomto článku odvodzujeme logistický rast oddelením premenných a riešením Bernoulliho rovnice.

Metóda 1 z 2: oddelenie premenných

1
Oddelené premenné.
- ${\ frac {1} {p \ left (1-{\ frac {p} {l}} \ right)}} {\ mathrm {d}} p = k {\ mathrm {d}} t$
2
Rozložte na čiastočné zlomky. Pretože menovateľ na ľavej strane má dva výrazy, musíme ich oddeliť, aby sa dali ľahko integrovať.
- Vynásobte ľavú stranu číslom LL {\ displaystyle {\ frac {L} {L}}} ${\ frac {l} {l}}$ a rozložte.
  - ${\ begin {aligned} {\ frac {l} {lp-p^{{2}}}} {\ mathrm {d}} pand = {\ frac {l} {p (lp)}} {\ mathrm { d}} p \\ a = {\ frac {a} {p}} {\ mathrm {d}} p+{\ frac {b} {lp}} {\ mathrm {d}} p \ end {zarovnaný}}$
- Riešenie pre A {\ displaystyle A} $A$ a B. {\ Displaystyle B.} $B.$
  - $L = a (lp)+bp, \ {\ text {let}} l = 0$
  - $0 = -ap+bp, \ a = b$
  - ${\ text {let}} p = 0: l = al$
  - $A = 1, \ b = 1$
3
Integrujte obe strany.
- ${\ begin {aligned} \ int {\ frac {1} {p}} {\ mathrm {d}} p+\ int {\ frac {1} {lp}} {\ mathrm {d}} pand = \ int k {\ mathrm {d}} t \\\ ln | p |-\ ln | lp | a = kt+c \ end {zarovnaný}}$
4
Izolovať $p$ . My negovať obe strany, pretože keď sme sa kombinovať protokoly, chceme- P {\ displaystyle P} $P$ byť na dne, pre jednoduchosť. Ako vždy, C {\ displaystyle C} $C.$ nie je nikdy ovplyvnený, pretože je ľubovoľný.
- ${\ begin {aligned}-\ ln | p |+\ ln | lp | and = -kt+c \\\ ln \ left | {\ frac {lp} {p}} \ right | and = -kt+c \ end {zarovnaný}}$
5
Riešenie pre $p$ . Necháme A = eC {\ displaystyle A = e^{C}} $A = e^{{c}}$ a uvedomíme si, že ani na to nemá znamienko plus-mínus, takže ho môžeme zahodiť.
- ${\ begin {aligned} \ ln \ left | {\ frac {lp} {p}} \ right | and = -kt+c \\\ left | {\ frac {lp} {p}} \ right | and = e^{{-kt+c}} \\ {\ frac {lp} {p}} a = \ pm ae^{{-kt}} \\ {\ frac {l} {p}}-1and = ae ^{{-kt}} \\ {\ frac {p} {l}} a = {\ frac {1} {ae^{{-kt}}+1}} \ end {zarovnaný}}$
- $P = {\ frac {l} {ae^{{-kt}}+1}}$
- Vyššie uvedená rovnica je riešenie logistického rastu problém, s grafom na logistické krivky znázornenej. Ako sa očakáva od diferenciálnej rovnice prvého rádu, máme ešte jednu konštantu $A,$ ktorá je určená počiatočnou populáciou.

Vyššie uvedená rovnica je riešením problému logistického rastu so zobrazeným grafom logistickej krivky.

Metóda 2 z 2: bernoulliho rovnica

1
Napíšte logistickú diferenciálnu rovnicu. Rozbaľte pravú stranu a posuňte výraz prvého poriadku na ľavú stranu. Možno jasne vidieť, že táto rovnica je nelineárna z P2 {\ displaystyle P ^ {2}} $P^{{2}}$ obdobie. Nelineárne diferenciálne rovnice vo všeobecnosti nemajú riešenia, ktoré je možné napísať pomocou elementárnych funkcií, ale Bernoulliho rovnica je významnou výnimkou.
- ${\ frac {{\ mathrm {d}} p} {{\ mathrm {d}} t}}-kp =-{\ frac {k} {l}} p^{{2}}$
2
Vynásobte obe strany číslom $-p^{{-2}}$ . Pri všeobecnom riešení Bernoulliho rovníc by sme vynásobili (1 − n) P − n, {\ Displaystyle (1-n) P^{-n},} $(1-n) p^{{-n}},$ kde n {\ displaystyle n} $N.$ označuje stupeň nelineárneho výrazu. V našom prípade sú to 2.
- $-p^{{-2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} p} {{\ mathrm {d}} t}}+kp^{{-1}} = {\ frac {k} { l}}$
3
Prepíšte odvodený výraz. Reťazcové pravidlo môžeme použiť spätne, aby sme zistili, že −P − 2dPdt = dP − 1dt. {\ Displaystyle -P^{ -2} {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} P^{-1}} {\ mathrm {d} t}}.} $-p^{{-2}} {\ frac {{\ mathrm {d}} p} {{\ mathrm {d}} t}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} p^{{- 1}}} {{\ mathrm {d}} t}}.$ Rovnica je teraz lineárna v P − 1. {\ displaystyle P^{-1}.} $P^{{-1}}.$
- ${\ frac {{\ mathrm {d}} p^{{-1}}} {{\ mathrm {d}} t}}+kp^{{-1}} = {\ frac {k} {l} }$
4
Vyriešte rovnicu pre $p^{{-1}}$ . Ako štandard pre lineárne diferenciálne rovnice prvého poriadku používame integrujúci faktor e whereg (x) dx, {\ displaystyle e^{\ int g (x) \ mathrm {d} x},} $E^{{\ int g (x) {\ mathrm {d}} x}},$ kde g (x) {\ displaystyle g (x)} $G (x)$ je koeficient P − 1, {\ displaystyle P^{-1},} $P^{{-1}},$ na konverziu na presnú rovnicu. Preto je naším integračným faktorom ekt. {\ Displaystyle e^{kt}.} $E^{{kt}}.$
- $E^{{kt}} {\ mathrm {d}} p^{{-1}}+\ vľavo (kp^{{-1}}-{\ frac {k} {l}} \ vpravo) e^ {{kt}} {\ mathrm {d}} t = 0$
- $\ int e^{{kt}} {\ mathrm {d}} p^{{-1}} = p^{{-1}} e^{{kt}}+r (t)$
- ${\ begin {aligned} r (t) and = \ int -{\ frac {k} {l}} e^{{kt}} {\ mathrm {d}} t \\ a = -{\ frac {1 } {l}} e^{{kt}} \ end {zarovnaný}}$
- ${\ frac {1} {p}} e^{{kt}}-{\ frac {1} {l}} e^{{kt}} = c$
5
Izolovať $p$ . Vyriešili sme diferenciálnu rovnicu, ale bola lineárna , $P^{{-1}},$ takže musíme prevziať prevratnosť našej odpovede.
- ${\ begin {aligned} {\ frac {1} {p}}-{\ frac {1} {l}} and = ce^{{-kt}} \\ {\ frac {lp} {pl}} a = ce^{{-kt}} \\ l-pand = plce^{{-kt}} \\ land = p (1+lce^{{-kt}}) \ end {zarovnaný}}$
6
Príďte k riešeniu. Prepísať LC {\ displaystyle LC} $LC$ ako novú konštantu A. {\ Displaystyle A.} $A.$
- $P = {\ frac {l} {1+ae^{{-kt}}}}$

Prečítajte si tiež: Ako nájsť recipročné?

Ako odvodiť logistický rast?

Kroky

Metóda 1 z 2: oddelenie premenných

Metóda 2 z 2: bernoulliho rovnica