Ako dokážeme, že druhá odmocnina z dvoch je iracionálna?
Iracionálne číslo je číslo, ktoré nemá túto vlastnosť, nemožno ho vyjadriť ako zlomok dvoch čísel.
Racionálne čísla sú čísla, ktoré je možné vyjadriť ako zlomok dvoch celých čísel, pomer. Iracionálne číslo je číslo, ktoré nemá túto vlastnosť, nemožno ho vyjadriť ako zlomok dvoch čísel. Niektoré z najznámejších čísel sú iracionálne - zamyslite sa nad π {\ Displaystyle \ pi} , e {\ Displaystyle e} (Eulerovo číslo) alebo ϕ {\ displaystyle \ phi} (zlatý rez). 2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}} je iracionálne číslo a dá sa to algebraicky dokázať veľmi elegantným spôsobom.
- 1Predpokladajme, že 2 {\ Displaystyle {\ sqrt {2}}} je racionálne. Potom môže byť vyjadrený ako zlomok ab {\ displaystyle {\ frac {a} {b}}} , kde a {\ displaystyle a} a b {\ displaystyle b} sú obe celé čísla, a b {\ displaystyle b} nie je 0 {\ displaystyle 0} . Okrem toho je tento zlomok napísaný najjednoduchším spôsobom, čo znamená, že buď {\ Displaystyle a} alebo b {\ Displaystyle b} alebo obidve sú nepárne celé čísla.
- 2 = ab {\ displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ frac {a} {b}}}
- 2Štvorec na oboch stranách.
- 2 = a2b2 {\ displaystyle 2 = {\ frac {a^{2}} {b^{2}}}}
- 3Vynásobte obe strany číslom b2 {\ displaystyle b^{2}} .
- 2b2 = a2 {\ displaystyle 2b^{2} = a^{2}}
- 4Všimnite si, že a2 {\ Displaystyle a^{2}} je párne číslo. a2 {\ displaystyle a^{2}} je párne číslo, pretože sa rovná dvakrát celému číslu. Vzhľadom k tomu, a2 {\ displaystyle a ^ {2}} je aj, a {\ displaystyle a} musí byť ešte aj preto, že keby to bolo zvláštne, a2 {\ displaystyle a ^ {2}} by párny tiež (nepárne číslo krát a nepárne číslo je vždy nepárne číslo). a {\ displaystyle a} je aj, tak to znamená, že môže byť zapísaný ako dvakrát určitej celé číslo, alebo inými slovami, a = 2k {\ displaystyle a = 2k} , kde k {\ displaystyle k} je toto celé číslo.
- 5Nahraďte pôvodnou rovnicou a = 2k {\ Displaystyle a = 2k} .
- 2 = (2k) 2b2 {\ displaystyle 2 = {\ frac {(2k)^{2}} {b^{2}}}} .
- 6Rozbaliť (2k) 2 {\ displaystyle (2k)^{2}} . (2k) 2 = 22k2 = 4k2 {\ displaystyle (2k)^{2} = 2^{2} k^{2} = 4k^{2}} .
- 2 = 4k2b2 {\ displaystyle 2 = {\ frac {4k^{2}} {b^{2}}}}
Je iracionálne číslo, ktoré je možné algebraicky dokázať veľmi elegantným spôsobom. - 7Vynásobte obe strany číslom b2 {\ displaystyle b^{2}} .
- 2b2 = 4k2 {\ Displaystyle 2b^{2} = 4k^{2}} .
- 8Vydeľte obe strany dvoma.
- b2 = 2k2 {\ displaystyle b^{2} = 2k^{2}}
- 9Všimnite si toho, že b2 {\ displaystyle b^{2}} je párne číslo. b2 {\ displaystyle b^{2}} je párne číslo, pretože sa rovná dvakrát celému číslu. Keďže je b2 {\ Displaystyle b^{2}} párne, b {\ Displaystyle b} musí byť tiež párne, pretože keby to bolo nepárne, b2 {\ Displaystyle b^{2}} by bolo tiež nepárne (nepárne číslo krát a nepárne číslo je vždy nepárne číslo).
- 10Uznajte, že ide o rozpor. Práve ste dokázali, že b {\ Displaystyle b} je rovnomerné. Tiež ste dokázali, že {\ Displaystyle a} je párne číslo. Je to protirečenie, pretože na začiatku tohto dôkazu sa predpokladalo, že ab {\ Displaystyle {\ frac {a} {b}}} bolo napísané najjednoduchším spôsobom, ale ak aj {\ Displaystyle a} a b {\ štýl zobrazenia b} je párny, čitateľa a menovateľa možno vydeliť 2, čo znamená, že nebol napísaný najjednoduchším spôsobom. Pretože ide o rozpor, pôvodný predpoklad, že 2 {\ Displaystyle {\ sqrt {2}}} racionálne je nepravdivé, čo vedie k záveru, že 2 {\ Displaystyle {\ sqrt {2}}} je iracionálne.
- Tento typ dôkazu je reductio ad absurdum (zníženie na absurdnosť). Snaží sa vyvrátiť tvrdenie tým , že ukazuje, že ak by tvrdenie bolo pravdivé, viedlo by to k absurdnému, nemožnému alebo nepraktickému záveru.
Prečítajte si tiež: Ako rýchlo čítať vedecké články?
