Ako transponovať maticu?
Ak chcete transponovať maticu, začnite otočením prvého riadka matice do prvého stĺpca jej transpozície. Tento krok zopakujte pre zostávajúce riadky, aby sa druhý riadok pôvodnej matice stal druhým stĺpcom jeho transpozície a podobne. Táto transpozícia je pre štvorcovú maticu rovnaká ako pre neštvorcovú maticu. Nakoniec transpozíciu vyjadrite matematicky, takže ak matica B je mxn matica, kde m sú riadky a n sú stĺpce, transponovaná matica je nxm, pričom n sú riadky a m sú stĺpce. Ak sa chcete dozvedieť, ako prevrátiť štvorcové matice cez hlavnú uhlopriečku, čítajte ďalej!
Okrem zápisu základnej matice sa nevyžaduje žiadny žargón: Ak je matica B matica mxn (m riadkov a n stĺpcov), transponovaná matica BT je matica nxm (n riadkov a m stĺpcov).
Maticové transpozície sú úhľadným nástrojom na pochopenie štruktúry matíc. Funkcie, ktoré už o maticiach môžete vedieť, ako napríklad pravouhlosť a symetria, ovplyvňujú výsledky transpozície zjavným spôsobom. Transpozícia slúži aj na účely pri vyjadrovaní vektorov ako matíc alebo pri získavaní produktov vektorov. Ak máte do činenia s komplexnými maticami, úzko súvisiaci koncept transpozície konjugátu vám pomôže vyriešiť mnohé problémy.
Časť 1 z 3: transpozícia matice
- 1Začnite akoukoľvek maticou. Môžete transponovať akúkoľvek maticu bez ohľadu na to, koľko má riadkov a stĺpcov. Štvorcové matice s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov sa najčastejšie transponujú, takže ako príklad použijeme jednoduchú štvorcovú maticu:
- matica A =
4 5 6
7 8 9
- matica A =
- 2Otočte prvý riadok matice do prvého stĺpca jej transpozície. Prepíšte prvý riadok matice do stĺpca:
- transponovať maticu A = A T
- prvý stĺpec AT:
2
3
- 3Opakujte pre zostávajúce riadky. Druhý riadok pôvodnej matice sa stane druhým stĺpcom jej transpozície. Tento vzorec opakujte, kým nezmeníte každý riadok na stĺpec:
- A t =
2 5 8
3 6 9
- A t =
- 4Cvičte na neštvorcovej matici. Transpozícia je pre neštvorcovú maticu úplne rovnaká. Prvý riadok prepíšete ako prvý stĺpec, druhý riadok ako druhý stĺpec atď. Tu je príklad s farebným kódovaním, ktorý vám ukáže, kde prvky skončia:
- matica Z =
4 7 2 1
3 9 8 6 - matica Z t =
4 3
7 9
2 8
1 6
- matica Z =
- 5Transpozíciu vyjadrite matematicky. Tento koncept je veľmi jednoduchý, ale je dobré ho vedieť popísať v matematike. Okrem zápisu základnej matice nie je potrebný žiadny žargón:
- Ak je matica B maticou m x n (m riadkov a n stĺpcov), transponovaná matica B T je matica n x m (n riadkov a m stĺpcov).
- Pre každý prvok b xy (x -tý riadok, y -tý stĺpec) v B má matica B T rovnaký prvok pri b yx (y -tý riadok, x -tý stĺpec).
Časť 2 z 3: špeciálne prípady
- 1(M T ) T = M. Transpozícia transpozície je pôvodná matica. Je to celkom intuitívne, pretože robíte iba prepínanie riadkov a stĺpcov. Ak ich znova prepnete, ste späť tam, kde ste začali.
- 2Prevráťte štvorcové matice cez hlavnú uhlopriečku. V štvorcovej matici transpozícia „prevráti“ maticu cez hlavnú uhlopriečku. Inými slovami, prvky v diagonálnej čiare od prvku a 11 do pravého dolného rohu zostanú rovnaké. Každý ďalší prvok sa bude pohybovať po uhlopriečke a skončí v rovnakej vzdialenosti od uhlopriečky, na opačnej strane.
- Ak si to nemôžete predstaviť, nakreslite na papier maticu 4x4. Teraz je sklad nad hlavnou uhlopriečkou. Vidíte, ako sa prvky 14 a 41 dotýkajú? Obchodujú s miestami pri transpozícii, rovnako ako každý iný pár, ktorý sa dotkne v zloženom stave.
- 3Transponujte symetrickú maticu. Symetrická matica je symetrická cez hlavnú uhlopriečku. Ak použijeme vyššie uvedený popis „preklopenie“ alebo „skladanie“, okamžite uvidíme, že sa nič nemení. Všetky páry prvkov, s ktorými sa obchoduje, boli už totožné. V skutočnosti je to štandardný spôsob definovania symetrickej matice. Ak je matica A = A T, potom je matica A symetrická.
Matica, s ktorou skončíte, je konjugovanou transpozíciou pôvodnej matice.
Časť 3 z 3: konjugovaná transpozícia komplexnej matice
- 1Začnite komplexnou maticou. Zložité matice majú prvky so skutočnou a imaginárnou zložkou. Aj keď môžete vziať obyčajnú transpozíciu týchto matíc, väčšina praktických výpočtov namiesto toho zahŕňa transpozíciu konjugátu.
- Matica C =
2+ i 3-2 i
0+ i 5+ 0 i
- Matica C =
- 2Vezmite komplexný konjugát. Komplexný konjugát mení znak imaginárnych komponentov bez toho, aby zmenil skutočné komponenty. Vykonajte túto operáciu pre všetky prvky matice.
- komplexný konjugát C =
2- i 3+2 i
0- i 5-0 i
- komplexný konjugát C =
- 3Transponujte výsledky. Vykonajte bežnú transpozíciu výsledku. Matica, s ktorou skončíte, je konjugovanou transpozíciou pôvodnej matice.
- konjugát transponuje C = CH =
2- i 0- i
3+2 i 5-0 i
- konjugát transponuje C = CH =
V matici transponujte všetky riadky matice do stĺpcov a naopak.
- Tento článok používa zápis A T na transpozíciu matice A. Zápis A 'alebo à znamená to isté.
- Tento článok sa týka konjugovanej transpozície matice A ako A H, najbežnejšej notácie v lineárnej algebre. Kvantoví fyzici namiesto toho často používajú A †. A* je ešte ďalšia možnosť, ale snažte sa tomu vyhnúť, pretože niektoré zdroje budú namiesto toho používať tento symbol ako komplexný konjugát.
Prečítajte si tiež: Ako učiť sčítanie s aktivitami?
Otázky a odpovede
- Ako transponujem maticu identity?V matici transponujte všetky riadky matice do stĺpcov a naopak. Tak môžete identifikovať transpozíciu matice.
- Vzhľadom na to, že B je matica, môže byť B1 znakom jej transpozície?Iste, je to dobrý spôsob, ako si zapamätať, ako tieto dve matice súvisia. Matematici vo všeobecnosti radi používajú B 'alebo B^T na pomenovanie transpozície, aby bolo ešte jednoduchšie ich sledovať.
- Zahŕňa transpozícia matice nejaký výpočet?Nie, pretože transponovať znamená prepísať surový dokument na stĺpec, počnúc prvým nespracovaným textom.
Komentáre (2)
- Vysvetlím viac, ako som čakal.
- Pomohlo mi to pochopiť, aké ľahké je transpozícia matice v skutočnosti!
