Ako vyriešiť problém s časticou v krabici?

V kvantovej mechanike je častica v krabici koncepčne jednoduchým problémom v polohovom priestore, ktorý ilustruje kvantovú povahu častíc tým, že umožňuje iba diskrétne hodnoty energie. V tomto probléme vychádzame zo Schrödingerovej rovnice, nachádzame vlastné energetické hodnoty a pokračujeme v ukladaní normalizačných podmienok na odvodenie vlastných funkcií spojených s týmito energetickými hladinami.

Kroky

1
Začnite časovo nezávislou Schrödingerovou rovnicou. Schrödingerova rovnica je jednou zo základných rovníc kvantovej mechaniky, ktorá popisuje, ako sa kvantové stavy vyvíjajú v čase. Časovo nezávislá rovnica je rovnicou vlastných hodnôt, a preto ako riešenia existujú iba určité vlastné hodnoty energie.
- ${\ hat {h}} | \ psi (x) \ rangle = e | \ psi (x) \ rangle$
2
Nahraďte hamiltonián voľnej častice do schrödingerovej rovnice.
- V jednorozmernej častici v boxe je hamiltonián daný nasledujúcim výrazom. Z klasickej mechaniky je to známe ako súčet kinetických a potenciálnych energií, ale v kvantovej mechanike predpokladáme, že poloha a hybnosť sú operátori.
  - ${\ hat {h}} = {\ frac {{\ hat {p}}^{{2}}} {2m}}+v (x)$
- V pozičnom priestore je operátor hybnosti daný p^=-iℏddx. {\ Displaystyle {\ hat {p}} =-i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}}.} ${\ hat {p}} =-i \ hbar {\ frac {{\ mathrm {d}}} {{\ mathrm {d}} x}}.$
  - ${\ hat {h}} =-{\ frac {\ hbar ^{{2}}} {2m}} {\ frac {{\ mathrm {d}} ^{{2}}} {{\ mathrm {d }} x^{{2}}}}+v (x)$
- Medzitým necháme V (x) = 0 {\ displaystyle V (x) = 0} $V (x) = 0$ vnútri škatule a V (x) = ∞ {\ displaystyle V (x) = \ infty} $V (x) = \ nekonečno$ všade inde. Pretože V (x) = 0 {\ Displaystyle V (x) = 0} $V (x) = 0$ v oblasti, ktorá nás zaujíma, môžeme teraz napísať túto rovnicu ako lineárnu diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi.
  - $-{\ frac {\ hbar^{{2}}} {2m}} {\ frac {{\ mathrm {d}}^{{2}} \ psi} {{\ mathrm {d}} x^{{ 2}}}} = e \ psi$
- Preskupením výrazov a definovaním konštanty dospejeme k $K ^{{2}} = {\ frac {2me} {\ hbar ^{{2}}}},$ nasledujúcej rovnici.
  - ${\ frac {{\ mathrm {d}}^{{2}} \ psi} {{\ mathrm {d}} x^{{2}}}}+k^{{2}} \ psi = 0$
Toto je opis častice vo vnútri škatule, obklopenej nekonečnými potenciálnymi energetickými stenami.
3
Vyriešte vyššie uvedenú rovnicu. Táto rovnica je z klasickej mechaniky známa ako rovnica popisujúca jednoduchý harmonický pohyb.
- Teória diferenciálnych rovníc nám hovorí, že všeobecné riešenie vyššie uvedenej rovnice má nasledujúci tvar, kde A {\ Displaystyle A} $A$ a B {\ Displaystyle B} $B$ sú ľubovoľné komplexné konštanty a L {\ Displaystyle L} $L$ je šírka box. Sme si vyberá koordinuje tak, že jeden koniec škatule lží pri x = 0 {\ displaystyle x = 0} $X = 0$ pre jednoduchosť výpočtov.
  - $\ psi (x) = a \ sin kx+b \ cos kx, \ quad 0 <x <l$
- Riešenie samozrejme platí iba do celkovej fázy, ktorá sa s časom mení, ale fázové zmeny neovplyvňujú žiadne z našich pozorovateľných vrátane energie. Preto pre naše účely napíšeme vlnovú funkciu, ktorá sa líši iba od polohy $\ psi (x),$ teda od použitia Schrödingerovej rovnice nezávislej od času.
4
Uložte hraničné podmienky. Si uvedomiť, že V (x) = ∞ {\ displaystyle V (x) = \ infty} $V (x) = \ nekonečno$ všade mimo poľa, takže vlnová funkcia musí zmiznúť na koncoch.
- $ψ (0) = Asin⁡ (k⋅0)+Bcos⁡ (k⋅0) = 0 {\ Displaystyle \ psi (0) = A \ sin (k \ cdot 0)+B \ cos (k \ cdot 0) = 0}$
- $\ psi (L) = a \ sin (kl)+b \ cos (kl) = 0$
- Toto je systém lineárnych rovníc, takže tento systém môžeme napísať v maticovej forme.
  - ${\ begin {pmatrix} 0and1 \\\ sin kland \ cos kl \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix}} = 0$
5
Vezmite determinant matice a vyhodnotte. Aby mala vyššie uvedená homogénna rovnica netriviálne riešenia, musí determinant zmiznúť. Toto je štandardný výsledok z lineárnej algebry. Ak nie ste oboznámení s týmto pozadím, môžete to považovať za vetu.
- Sínusová funkcia je 0, iba ak je jej argumentom celočíselný násobok π. {\ Displaystyle \ pi.} $\ pi.$
  - ${\ begin {aligned}-\ sin kland = 0 \\ kland = n \ pi, \ n \ in {\ mathbb {z}} \ end {aligned}}$
- Pripomeňme si, že k = 2mEℏ2. {\ Displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {2mE} {\ hbar ^{2}}}}.}} $K = {\ sqrt {{\ frac {2me} {\ hbar ^{{2}}}}}}.$ Potom môžeme vyriešiť otázku E. {\ Displaystyle E.} $E.$
  - $Kl = {\ sqrt {{\ frac {2me _ {{n}}} {\ hbar ^{{2}}}}}} l = n \ pi$
  - $E _ {{n}} = {\ frac {\ hbar ^{{2}} \ pi ^{{2}}} {2ml ^{{2}}}} n ^{{2}}$
- Toto sú vlastné energetické hodnoty častice v krabici. Pretože $N.$ je celé číslo, energia tohto systému môže nadobúdať iba diskrétne hodnoty. Jedná sa o prevažne kvantovo mechanický jav, na rozdiel od klasickej mechaniky, kde častica môže nadobúdať kontinuálne hodnoty svojej energie.
- Energia častice môže nadobúdať kladné hodnoty iba v pokoji. Pôda stavu energie $E _ {{1}}$ sa nazýva energia nulového bodu častice. Energia zodpovedajúca $N = 0$ nie je povolená, pretože to fyzicky znamená, že v krabici nie je žiadna častica. Pretože energie rastú kvadraticky, vyššie energetické hladiny sú rozložené viac ako nižšie energetické hladiny.
- Teraz pristúpime k odvodeniu vlastných energetických funkcií.
V jednorozmernej častici v boxe je hamiltonián daný nasledujúcim výrazom.
6
Napíšte vlnovú funkciu s neznámou konštantou. Z obmedzenia vlnovej funkcie na X = 0 {\ Displaystyle x = 0} $X = 0$ vieme, že B = 0 {\ displaystyle B = 0} $B = 0$ (pozri prvú rovnicu v kroku 4). Vlnová funkcia bude preto obsahovať iba jeden termín zo všeobecného riešenia diferenciálnej rovnice. Ďalej uvádzame skratku k = nπL. {\ Displaystyle k = {\ frac {n \ pi} {L}}.} $K = {\ frac {n \ pi} {l}}.$
- $\ psi _ {{n}} (x) = a \ sin {\ frac {n \ pi x} {l}}, \ n \ v {\ mathbb {z}}$
7
Normalizujte vlnovú funkciu. Normalizácia určí konštantný a {\ displaystyle A} $A$ a zaistí, že pravdepodobnosť nájdenia častice v poli je 1. Vzhľadom na to, n {\ displaystyle n} $N.$ môže byť iba celé číslo, je vhodné, aby sada n = 1 {\ zobrazovací štýl n = 1} $N = 1$ , pretože jediným účelom nahradenia hodnoty je získať výraz pre A. {\ displaystyle A.} $A.$ Je užitočné poznať integrálny prvok. } ^{\ pi} \ sin ^{2} x \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}} $\ int _ {{0}} ^{{\ pi}} \ sin ^{{2}} x {\ mathrm {d}} x = {\ frac {\ pi} {2}}$ pri normalizácii.
- $1 = \ int \ psi^{{*}} (x) \ psi (x) {\ mathrm {d}} x = \ int _ {{0}}^{{l}} a^{{*}} a \ sin ^{{2}} {\ frac {n \ pi x} {l}}, \ n \ v {\ mathbb {z}}$
- ${\ begin {aligned} {\ frac {1} {| a |^{{2}}}} a = \ int _ {{0}}^{{l}} \ sin^{{2}} {\ frac {\ pi x} {l}} {\ mathrm {d}} x, \ u = {\ frac {\ pi x} {l}} \\ a = \ int _ {{0}}^{{\ pi}} {\ frac {l} {\ pi}} \ sin ^{{2}} u {\ mathrm {d}} u \\ a = {\ frac {l} {\ pi}} {\ frac { \ pi} {2}} \ end {zarovnaný}}$
- $A = {\ sqrt {{\ frac {2} {l}}}}$
8
Príďte na vlnovú funkciu. Toto je opis častice vo vnútri škatule, obklopenej nekonečnými potenciálnymi energetickými stenami. Kým n {\ Displaystyle n} $N.$ môže nadobudnúť zápornú hodnotu, výsledok by jednoducho negoval vlnovú funkciu a viedol by k fázovej zmene, nie k úplne odlišnému stavu. Jasne vidíme, prečo sú tu povolené iba diskrétne energie, pretože pole povoľuje iba tie vlnové funkcie s uzlami v x = 0 {\ displaystyle x = 0} $X = 0$ a x = L. {\ Displaystyle x = L.} $X = l.$
- $\ psi _ {{n}} (x) = {\ sqrt {{\ frac {2} {l}}}} \ sin {\ frac {n \ pi x} {l}}, \ 0 <x <l$

Že v krabici nie sú žiadne častice — Energia zodpovedajúca nie je povolená, pretože to fyzicky znamená, že v krabici nie sú žiadne častice.

Tipy

Pri normalizovanie, substitúciou zodpovedajúce číslo pre $N.$ a prevedenie výslednej u-substitúcia vždy vráti správnu odpoveď na $A,$ , pretože zmena v derivátu je kompenzovaná zmenou hranica. Overte to nastavením $N = 2,$ alebo akéhokoľvek iného kladného celého čísla a znova normalizáciou.

Prečítajte si tiež: Ako znásobiť matice?